Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Trương Đạt

cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn a+b<_c. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức\(P=\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\)

Nguyễn Việt Lâm
12 tháng 5 2019 lúc 11:18

\(2\sqrt{ab}\le a+b\le c\Rightarrow c^2\ge4ab\Rightarrow\frac{c^2}{ab}\ge4\)

\(P=1+\left(\frac{a}{b}\right)^2+\left(\frac{a}{c}\right)^2+\left(\frac{b}{a}\right)^2+1+\left(\frac{b}{c}\right)^2+\left(\frac{c}{a}\right)^2+\left(\frac{c}{b}\right)^2+1\)

\(P=3+\left(\frac{a}{b}\right)^2+\left(\frac{b}{a}\right)^2+\left(\frac{a}{c}\right)^2+\left(\frac{b}{c}\right)^2+\left(\frac{c}{a}\right)^2+\left(\frac{c}{b}\right)^2\)

\(P\ge3+2\sqrt{\frac{\left(ab\right)^2}{\left(ab\right)^2}}+2\sqrt{\frac{\left(ab\right)^2}{c^4}}+2\sqrt{\frac{c^4}{\left(ab\right)^2}}\)

\(P\ge5+2\left(\frac{ab}{c^2}+\frac{c^2}{ab}\right)=5+2\left(\frac{ab}{c^2}+\frac{c^2}{16ab}+\frac{15c^2}{ab}\right)\)

\(P\ge5+2\left(2\sqrt{\frac{abc^2}{16abc^2}}+\frac{15}{16}.4\right)=\frac{27}{2}\)

\(\Rightarrow P_{min}=\frac{27}{2}\) khi \(2a=2b=c\)


Các câu hỏi tương tự
Mai Tiến Đỗ
Xem chi tiết
Duc Khuat
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Phạm Trần Minh Trí
Xem chi tiết
Rose Princess
Xem chi tiết
𝓓𝓾𝔂 𝓐𝓷𝓱
Xem chi tiết
trần trác tuyền
Xem chi tiết
linh angela nguyễn
Xem chi tiết