Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Phạm Trần Minh Trí

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(P=\frac{a^3}{\left(b+c\right)^2}+\frac{b^3}{\left(c+a\right)^2}+\frac{c^3}{\left(a+b\right)^2}\)

Nguyễn Việt Lâm
20 tháng 11 2019 lúc 16:21

\(P=\frac{a^3}{\left(6-a\right)^2}+\frac{b^3}{\left(6-b\right)^2}+\frac{c^3}{\left(6-c\right)^2}\)

Ta có đánh giá: \(\frac{a^3}{\left(6-a\right)^2}\ge a-\frac{3}{2}\) \(\forall a\in\left(0;3\right)\)

Thật vậy, BĐT tương đương:

\(2a^3\ge\left(2a-3\right)\left(a^2-12a+36\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a-2\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Tương tự: \(\frac{b^3}{\left(6-a\right)^2}\ge b-\frac{3}{2}\) ; \(\frac{c^3}{\left(6-c\right)^2}\ge c-\frac{3}{2}\)

Cộng vế với vế:

\(P\ge a+b+c-\frac{9}{2}=\frac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=2\)

Khách vãng lai đã xóa
tthnew
20 tháng 11 2019 lúc 19:01

Em giải bài này hồi chiều bên olm bằng hai cách rồi:D

Nhưng rảnh quá nên nhai lại cách 1 (không trùng với ad Lâm)

Theo BĐT AM-GM: \(\frac{a^3}{\left(b+c\right)^2}+\frac{b+c}{8}+\frac{b+c}{8}\ge\frac{3a}{4}\)

Suy ra \(\frac{a^3}{\left(b+c\right)^2}\ge\frac{3a-b-c}{4}\)

Tương tự hai BĐT còn lại rồi cộng theo vế: \(P\ge\frac{a+b+c}{4}=\frac{3}{2}\)

P/s: Lời giải được nhai lại từ: Câu hỏi của Phạm Trần Minh Trí - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath

Khách vãng lai đã xóa

Các câu hỏi tương tự
Mai Tiến Đỗ
Xem chi tiết
Trương Đạt
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Rose Princess
Xem chi tiết
Duc Khuat
Xem chi tiết
𝓓𝓾𝔂 𝓐𝓷𝓱
Xem chi tiết
Nguyễn Bùi Đại Hiệp
Xem chi tiết
abcd
Xem chi tiết