Question

Cho 100 số tự nhiên \(a_1;a_2;...;a_{100}\) thỏa mãn điều kiện :

\(\dfrac{1}{\sqrt{a_1}}+\dfrac{1}{\sqrt{a_2}}+.....+\dfrac{1}{\sqrt{a_{100}}}=19\)

Chứng minh rằng trong 100 số đã cho có 2 số bằng nhau

Answer 1

Giả sử 100 số tự nhiên đã cho đôi một khác nhau và \(a_1\ge1\),\(a_2\ge2\),..\(a_{100}\ge100\)( vì a là số tự nhiên)

\(\Rightarrow S=\dfrac{1}{\sqrt{a_1}}+\dfrac{1}{\sqrt{a_2}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{a_{100}}}\le\dfrac{1}{\sqrt{1}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{100}}\)

Ta có điều sau:\(\dfrac{1}{2\sqrt{n}}=\dfrac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}< \dfrac{1}{\sqrt{n-1}+\sqrt{n}}=\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\)

\(\Rightarrow S< 1+2.\left(\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+...+\sqrt{100}-\sqrt{99}\right)\)

\(=1+2.\left(10-1\right)=19\)( trái với giả thiết)

nên có ít nhất 2 trong 100 số đã cho bằng nhau .