Question

Câu 1 ;CMR với mọi x,y : \(x^2+xy+y^2+1>0\)

Câu 2 : Chứng minh \(x^3+y^3-z^3+3xyz⋮x+y-z\) .Tìm thương của phép chia .

Answer 1

Bài 1:

Ta có:\(x^2+xy+y^2+1\)

\(=x^2+\dfrac{1}{2}xy+\dfrac{1}{2}xy+\dfrac{1}{4}y^2+\dfrac{3}{4}y^2+1\)

\(=\left(x^2+\dfrac{1}{2}xy\right)+\left(\dfrac{1}{2}xy+\dfrac{1}{4}y^2\right)+\dfrac{3}{4}y^2+1\)

\(=x.\left(x+\dfrac{1}{2}y\right)+\dfrac{1}{2}y.\left(x+\dfrac{1}{2}y\right)+\dfrac{3}{4}y^2+1\)

\(=\left(x+\dfrac{1}{2}y\right)^2+\dfrac{3}{4}y^2+1\)

Với mọi giá trị của \(x\in R\) ta có:

\(\left(x+\dfrac{1}{2}y\right)^2\ge0;\dfrac{3}{4}y^2\ge0\)

\(\Rightarrow\left(x+\dfrac{1}{2}y\right)^2+\dfrac{3}{4}y^2\ge0\Rightarrow\left(x+\dfrac{1}{2}y\right)^2+\dfrac{3}{4}y^2+1\ge1>0\)

Hay \(x^2+xy+y^2+1>0\) (đpcm)

Chúc bạn học tốt!!!