Câu 1: Cho \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\). Tính giá trị của biểu thức: \(P=\frac{ab}{c^2}+\frac{bc}{a^2}+\frac{ca}{b^2}\).
Câu 2: Rút gọn: \(A=\frac{\sqrt{\sqrt[4]{8}+\sqrt{\sqrt{2}-1}}-\sqrt{\sqrt[4]{8}-\sqrt{\sqrt{2}-1}}}{\sqrt{\sqrt[4]{8}-\sqrt{\sqrt{2}+1}}}\)
Câu 3: Cho đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R; C là trung điểm của đoạn OA, D là một điểm của đường tròn sao cho BD = R. Đường trung trực của OA cắt AD tại E và BD tại F.
a) Tính các đoạn AE, CE và ED theo R.
b) Chứng tỏ rằng ΔADB và ΔFCB đồng dạng. Tính FB và FC theo R.
c) Chứng tỏ rằng BE vuông góc với AF.
d) Một điểm M di chuyển trên nửa đường tròn không chứa điểm D, tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn DM.
Câu 4: Cho hàm số y = ax2 có đồ thị là (P)
a) Xác định a biết rằng (P) đi qua điểm A(-2; -1) và vẽ (P).
b) Gọi B là điểm trên (P) có hoành độ bằng 4. Viết phương trình đường thẳng AB.
c) Viết phương trình đường thẳng (D) tiếp xúc (P) và song song với AB.
Câu 5: Cho a, b, c là ba số dương thỏa a + b + c = 1. Chứng minh: \(\left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)\left(1+\frac{1}{c}\right)\ge64\)
Câu 6: Trong một can có 16 lít xăng. Làm thế nào để chia số xăng đó thành hai phần bằng nhau, mỗi phần bằng nhau, mỗi phần 8 lít; nếu chỉ có thêm một can 11 lít và một can 6 lít để không?
Help me!!!
Câu 1:
Ta có: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=-\frac{1}{c}\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)^3=\left(-\frac{1}{c}\right)^3\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a^3}+\frac{3}{a^2b}+\frac{3}{ab^2}+\frac{1}{b^3}=-\frac{1}{c^3}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}+\frac{3}{ab}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}=-\frac{3}{ab}\cdot\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}=\frac{-3}{ab}\cdot\frac{-1}{c}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}=\frac{3}{abc}\)
Ta có: \(P=\frac{ab}{c^2}+\frac{bc}{a^2}+\frac{ca}{b^2}\)
\(=\frac{abc}{c^3}+\frac{abc}{a^3}+\frac{cab}{b^3}\)
\(=abc\left(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}\right)\)
\(=abc\cdot\frac{3}{abc}=3\)
6.
Chưa biết đây đã phải cách tối ưu không
Thứ tự 3 can lần lượt là can 16 lít, can 11 lít và can 6 lít:
(16;0;0) ; (5;11;0); (5;5;6); (0;10;6); (6;10;0); (6;4;6); (12;4;0); (12;0;4); (1;11;4); (1;9;6); (7;9;0); (7;3;6); (13;3;0); (13;0;3); (2;11;3); (2;8;6); (8;8;0)
5.
\(1=a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\Rightarrow\frac{1}{\sqrt[3]{abc}}\ge3\)
Ta có:
\(\frac{1}{1+\frac{1}{a}}+\frac{1}{1+\frac{1}{b}}+\frac{1}{1+\frac{1}{b}}\ge\frac{3}{\sqrt[3]{\left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)\left(1+\frac{1}{c}\right)}}\)
\(\frac{\frac{1}{a}}{1+\frac{1}{a}}+\frac{\frac{1}{b}}{1+\frac{1}{b}}+\frac{\frac{1}{c}}{1+\frac{1}{c}}\ge3\sqrt[3]{\frac{\frac{1}{abc}}{\left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)\left(1+\frac{1}{c}\right)}}\)
Cộng vế với vế:
\(\Rightarrow3\ge\frac{3}{\sqrt[3]{\left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)\left(1+\frac{1}{c}\right)}}+\frac{3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}}{\sqrt[3]{\left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)\left(1+\frac{1}{c}\right)}}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt[3]{\left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)\left(1+\frac{1}{c}\right)}\ge1+\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\)
\(\Leftrightarrow\left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)\left(1+\frac{1}{c}\right)\ge\left(1+\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\right)^3\ge\left(1+3\right)^3=64\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
4.
Thay tọa độ A vào pt (P) ta được:
\(-1=a.\left(-2\right)^2\Rightarrow a=-\frac{1}{4}\)
Phương trình (P): \(y=-\frac{1}{4}x^2\)
\(x_B=4\Rightarrow y_B=-\frac{1}{4}x_B^2=-4\Rightarrow B\left(4;-4\right)\)
Gọi phương trình AB có dạng \(y=ax+b\) , do A và B đều thuộc AB nên:
\(\left\{{}\begin{matrix}-2a+b=-1\\4a+b=-4\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=-\frac{1}{2}\\b=-2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow y=-\frac{1}{2}x-2\)
Đường thẳng d song song AB nên pt có dạng: \(y=-\frac{1}{2}x+c\) với \(c\ne-2\)
Pt hoành độ giao điểm d và (P):
\(-\frac{1}{4}x^2=-\frac{1}{2}x+c\Leftrightarrow x^2-2x+4c=0\) (1)
d tiếp xúc (P) khi và chỉ khi (1) có nghiệm kép
\(\Leftrightarrow\Delta'=1-4c=0\Rightarrow c=\frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow\left(d\right):y=-\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}\)
2.
Nhận xét: \(\sqrt[4]{8}+\sqrt{\sqrt{2}-1}>\sqrt[4]{8}-\sqrt{\sqrt{2}-1}\Rightarrow A>0\)
Ta có: \(A^2=\frac{\sqrt[4]{8}+\sqrt{\sqrt{2}-1}+\sqrt[4]{8}-\sqrt{\sqrt{2}-1}-2\sqrt{\sqrt{8}-\sqrt{2}+1}}{\sqrt[4]{8}-\sqrt{\sqrt{2}+1}}\)
\(=\frac{2\sqrt[4]{8}-2\sqrt{\sqrt{2}+1}}{\sqrt[4]{8}-\sqrt{\sqrt{2}+1}}=\frac{2\left(\sqrt[4]{8}-\sqrt{\sqrt{2}+1}\right)}{\sqrt[4]{8}-\sqrt{\sqrt{2}+1}}=2\)
\(\Rightarrow A=\sqrt{2}\)
