Question

Các bạn giúp mình câu bđt cauchy này với: cho a,b,c>0 và a+b+c=1 CMR: \(\sqrt[3]{a+b}+\sqrt[3]{b+c}+\sqrt[3]{c+a}\le\sqrt[3]{18}\)

Answer 1

Lời giải:

Áp dụng BĐT Cauchy cho các số dương ta có:

\((a+b)+\frac{2}{3}+\frac{2}{3}\geq 3\sqrt[3]{\frac{4}{9}(a+b)}\)

\((b+c)+\frac{2}{3}+\frac{2}{3}\geq 3\sqrt[3]{\frac{4}{9}(b+c)}\)

\((c+a)+\frac{2}{3}+\frac{2}{3}\geq 3\sqrt[3]{\frac{4}{9}(c+a)}\)

Cộng theo vế và thu gọn:

\(\Rightarrow 2(a+b+c)+4\geq 3\sqrt[3]{\frac{4}{9}}(\sqrt[3]{a+b}+\sqrt[3]{b+c}+\sqrt[3]{c+a})\)

\(\Leftrightarrow 6\geq 3\sqrt[3]{\frac{4}{9}}(\sqrt[3]{a+b}+\sqrt[3]{b+c}+\sqrt[3]{c+a})\)

\(\Leftrightarrow \sqrt[3]{18}\geq \sqrt[3]{a+b}+\sqrt[3]{b+c}+\sqrt[3]{c+a}\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$