Question

Biết p là số nguyên tố lớn hơn 3, chứng minh \(p^2\) -1 chia hết cho 24

Answer 1

Ta có: p²-1= p² +p-p+1 =(p²+p)-(p+1) =p(p+1)-(p+1) =(p-1).(p+1)

vì p là số nguyên tố >3 =>p lẻ=>(p-1)và(p+1) là 2 số chẵn liên tiếp

=> (p-1)(p+1)\(⋮\)8

Vì p là số nguyên tố >3 =>p=3k+1;3k+2

với p=3k+1=>(3k+1-1)(p+1)=3k(p+1) chia hết cho 3 (1)

với p=3k+2=>(p-1)(3k+2+1)=(p-1)(k+1).3 chia hết cho 3(2)

từ (1)(2)=>(p²-1)chia hết cho 3;8

mà (3;8)=1

=>p²-1 chia hết cho 24

Answer 2

Ta có: p² - 1 = (p - 1)(p + 1)

Do p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p lẻ, suy ra p - 1 và p + 1 là hai số chẵn liên tiếp. Trong hai số chẵn liên tiếp luôn có một số chia hết cho 4 nên tích (p - 1)(p + 1) chia hết cho 2 . 4 = 8 (1).

p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p = 3k + 1 hoặc p = 3k + 2 (k \(\in\) N)

+ Nếu p = 3k + 1 thì p - 1 = 3k \(⋮\) 3, do đó tích (p - 1)(p + 1) \(⋮\) 3

+ Nếu p = 3k - 1 thì p + 1 = 3k \(⋮\) 3, do đó tích (p - 1)(p + 1) \(⋮\) 3

Từ hai trường hợp trên suy ra (p - 1)(p + 1) \(⋮\) 3 (2)

Từ (1) và (2) suy ra (p - 1)(p + 1) \(⋮\) 3 và 8, do đó (p - 1)(p + 1) \(⋮\) 24 hay p² - 1 \(⋮\) 24(đpcm)