Bài 43: Cho tam giác cân ABC,AB=AC.Trên tia đối tia BC và CB lấy theo thứ tự hai điểm D và E sao cho BD=CE
a)Chứng minh tam giác ADE cân
b)Gọi M là trung điểm của BC.Chứng minh AM là tia phân giác của góc DAE
c) Từ B và C kẻ BK và CK theo thứu tự vuông góc với AD và AE. Chứng minh BH=CK
d) Chứng minh ba đường thẳng AM,BH và CK cùng đi qua một điểm
a) \(\Delta ABC\) cân ở A(gt) nên AB=AC và \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)
\(\Rightarrow \widehat{ABD}=180^o-\widehat{ABC}\)(1)
\(\Rightarrow \widehat{ACE}=180^o-\widehat{ACB}(2)\)
từ (1) và (2) ta có:
\(\widehat{ABD}=\widehat{ACE}\)
Xét \(\Delta ABD \) và \(\Delta ACE\) ta có:
AB=AC;\(\widehat{ABD}=\widehat{ACE};BD=CE\)
Do đó \(\Delta ABD \)=\(\Delta ACE\)(c-g-c)
Vậy AD=AE(hai cạnh tương ứng)
\(\widehat{ADB}=\widehat{AEC}\)(hai góc tương ứng)
\(\Rightarrow \)\(\Delta ADE \) cân ở A
b) \(\Delta AMD \) = \(\Delta AME \) (c-c-c),suy ra \(\widehat{MAD}=\widehat{MAE}\)(hai góc tương ứng)
vậy AM là tiap phân giác của góc DAE
c) \(\Delta ADE\) cân ở A nên \(\widehat{ADE}=\widehat{AED}\),
\(\Delta BHD= \Delta CKE\)(ch-gn)
vậy BH=CK.
d) Gọi giao điểm của BH và CK là O ta có:
\(\Delta AHO=\Delta AKO\)(ch-gn)
DO đó \(\widehat{OAK}=\widehat{OAE}\) nên AO là tia phân giác của của góc KAH và AO là tia phân giác của góc DAE . Mặt khác theo câu b) thì AM là tia phân giác của góc DAE, Vì thế AO trùng AM. Từ đây suy ra ba đường thẳng AM,BH,CK cắt nhau tại O
a) ΔABCΔ��� cân ở A(gt) nên AB=AC và ˆABC=ˆACB���^=���^
⇒ˆABD=180o−ˆABC⇒���^=180�−���^(1)
⇒ˆACE=180o−ˆACB(2)⇒���^=180�−���^(2)
từ (1) và (2) ta có:
ˆABD=ˆACE���^=���^
Xét ΔABDΔ��� và ΔACEΔ��� ta có:
AB=AC;ˆABD=ˆACE;BD=CE���^=���^;��=��
Do đó ΔABDΔ���=ΔACEΔ���(c-g-c)
Vậy AD=AE(hai cạnh tương ứng)
ˆADB=ˆAEC���^=���^(hai góc tương ứng)
⇒⇒ΔADEΔ��� cân ở A
b) ΔAMDΔ��� = ΔAMEΔ��� (c-c-c),suy ra ˆMAD=ˆMAE���^=���^(hai góc tương ứng)
vậy AM là tiap phân giác của góc DAE
c) ΔADEΔ��� cân ở A nên ˆADE=ˆAED���^=���^,
ΔBHD=ΔCKEΔ���=Δ���(ch-gn)
vậy BH=CK.
d) Gọi giao điểm của BH và CK là O ta có:
ΔAHO=ΔAKOΔ���=Δ���(ch-gn)
DO đó ˆOAK=ˆOAE���^=���^ nên AO là tia phân giác của của góc KAH và AO là tia phân giác của góc DAE . Mặt khác theo câu b) thì AM là tia phân giác của góc DAE, Vì thế AO trùng AM. Từ đây suy ra ba đường thẳng AM,BH,CK cắt nhau tại O
