a: Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao
nên \(AH^2=HB\cdot HC\)
=>\(AH^2=4\cdot9=36=6^2\)
=>AH=6(cm)
ΔAHB vuông tại H
=>\(AH^2+HB^2=AB^2\)
=>\(AB^2=6^2+4^2=36+16=52\)
=>\(AB=2\sqrt{13}\) (cm)
b: Ta có: CK//AB
AB⊥CA
Do đó: CK⊥CA
A đối xứng D qua BC
=>BC là đường trung trực của AD
=>BC⊥AD tại trung điểm của AD
BC⊥AD
AH⊥BC
mà AD,AH có điểm chung là A
nên A,D,H thẳng hàng
=>H là trung điểm của AD
Xét ΔCAK vuông tại C có CH là đường cao
nên \(HA\cdot HK=HC^2\)
\(HA\cdot HK+HC\cdot HB\)
\(=HC^2+HA^2=CA^2\)
c: Xét tứ giác BAEF có \(\hat{BAE}+\hat{BFE}=90^0+90^0=180^0\)
nên BAEF là tứ giác nội tiếp
=>\(\hat{BAF}=\hat{BEF}\)
mà \(\hat{BEF}=\hat{BDA}\) (hai góc so le trong, DA//EF)
nên \(\hat{BAF}=\hat{BDA}\)
B nằm trên đường trung trực của AD
=>BA=BD
=>ΔBAD cân tại B
=>\(\hat{BDA}=\hat{BAD}\)
mà \(\hat{BAD}=\hat{BCA}\left(=90^0-\hat{ABC}\right)\)
và \(\hat{BDA}=\hat{BAF}\)
nên \(\hat{BAF}=\hat{BCA}\)
Gọi O là trung điểm của BC
ΔABC vuông tại A
mà AO là đường trung tuyến
nên OA=OC=OB
Xét ΔOAB có OA=OB
=>ΔOAB cân tại O
=>\(\hat{OAB}=\hat{OBA}\)
\(\hat{OAF}=\hat{OAB}+\hat{FAB}\)
\(=\hat{ABC}+\hat{ACB}=90^0\)
=>FA⊥ AO tại A
=>FA là tiếp tuyến tại A của (O)
