a: Xét (O) có
ΔABI nội tiếp
AI là đường kính
Do đó: ΔABI vuông tại B
=>AB\(\perp\)BI
Xét (O) có
ΔACI nội tiếp
AI là đường kính
Do đó: ΔAIC vuông tại C
=>AC\(\perp\)CI
Ta có: BH\(\perp\)AC
AC\(\perp\)CI
Do đó: BH//CI
Ta có: CH\(\perp\)AB
IB\(\perp\)AB
Do đó: CH//IB
Xét tứ giác BHCI có
BH//CI
BI//CH
Do đó: BHCI là hình bình hành
b: Xét ΔABC có
BD,CE là các đường cao
BD cắt CE tại H
Do đó: H là trực tâm của ΔABC
=>AH\(\perp\)BC
=>AK\(\perp\)BC
Xét (O) có
ΔAKI nội tiếp
AI là đường kính
Do đó: ΔAKI vuông tại K
=>AK\(\perp\)KI
Ta có: KI\(\perp\)AK
BC\(\perp\)AK
Do đó: KI//BC
Xét (O) có
\(\widehat{ABC}\) là góc nội tiếp chắn cung AC
\(\widehat{AKC}\) là góc nội tiếp chắn cung AC
Do đó: \(\widehat{ABC}=\widehat{AKC}\)
mà \(\widehat{ABC}=\widehat{CHK}\left(=90^0-\widehat{ECB}\right)\)
nên \(\widehat{CHK}=\widehat{CKA}=\widehat{CKH}\)
=>ΔCKH cân tại C
=>CK=CH
mà BI=CH(BHCI là hình bình hành)
nên BI=CK
Xét tứ giác BCIK có
BC//KI
Do đó: BCIK là hình thang
Hình thang BCIK có BI=CK
nên BCIK là hình thang cân
