Question

Bài 2. Tìm GTLN của các biểu thức:
a,\(A=\sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}\) ,với \(a,b\ge-1\) và a + b = 1.
b,\(B=x^2\left(1-2x\right)\) , với \(0< x< \frac{1}{2}\)
c,C = ( x + 1 )( 1 - 2x ), với \(-1< x< \frac{1}{2}\)

Answer 1

Áp dụng bđt Cauchy hết nha

a) \(A=\sqrt{\left(a+1\right)\cdot\frac{3}{2}}\le\frac{a+1+\frac{3}{2}}{2}=\frac{a+\frac{5}{2}}{2}\). Dấu "=" \(\Leftrightarrow a+1=\frac{3}{2}\Leftrightarrow a=\frac{1}{2}\)

+ Tương tự : \(\sqrt{\left(b+1\right)\cdot\frac{3}{2}}\le\frac{b+\frac{5}{2}}{2}\) Dấu "=" \(\Leftrightarrow b=\frac{1}{2}\)

Do đó : \(\sqrt{\frac{3}{2}}\cdot A\le\frac{a+b+5}{2}=3\) \(\Rightarrow A\le\sqrt{6}\)

Dấu "=" \(\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}\)

b) \(B=x\cdot x\left(1-2x\right)\le\left(\frac{x+x+1-2x}{3}\right)^3=\frac{1}{27}\)

Dấu "=" \(\Leftrightarrow x=1-2x\Leftrightarrow x=\frac{1}{3}\)

c) \(C=\frac{1}{2}\left(2x+2\right)\left(1-2x\right)\le\frac{1}{2}\left(\frac{2x+2+1-2x}{2}\right)^2=\frac{9}{8}\)

Dấu "=" \(\Leftrightarrow2x+2=1-2x\Leftrightarrow x=-\frac{1}{4}\)