Bài 1 : Chứng minh rằng
a) \(\frac{1-sinx}{cosx}=\frac{cosx}{1+sinx}\)
b) \(\frac{tanx}{sinx}-\frac{sinx}{cotx}=cosx\)
Bài 2 : Chứng minh các biểu thức sau độc lập với biến x
A= \(\frac{cot^2x-cos^2x}{cot^2x}+\frac{sinxcosx}{cotx}\)
B= \(cos^4x+sin^2xcos^2x+sin^{2^{ }}x\)
Bài 3 : Tính giá trị các biểu thức lượng giác
A=\(\frac{5cosx+6tanx}{5cosx-6tanx}\) biết tanx=2
B= \(\frac{4sinxcosx-3cos^2x}{^{ }1+3sin^2x}\) biết cotx = -6
Bài 4 : Tính giá trị các biểu thức lượng giác
A= \(\frac{cotx}{cotx-tanx}\) biết sinx=\(\frac{3}{5}\) với \(0^o< x\le90^o\)
B= sina+cosa tana biết cosa=\(\frac{1}{2}\) với \(\frac{3\pi}{2}< a< 2\pi\)
Bài 5 : Tính giá trị lượng giác còn lại của góc 2a nếu :
a) cos2\(\alpha\) = \(\frac{2}{5}\) biết \(0< \alpha< \frac{\pi}{4}\)
b) sin2\(\alpha\) = \(\frac{24}{25}\) biết \(\frac{-3\pi}{4}\le\alpha\le-\frac{\pi}{2}\)
Bài 1:
\(\frac{1-sinx}{cosx}=\frac{cosx\left(1-sinx\right)}{cos^2x}=\frac{cosx\left(1-sinx\right)}{1-sin^2x}=\frac{cosx\left(1-sinx\right)}{\left(1-sinx\right)\left(1+sinx\right)}=\frac{cosx}{1+sinx}\)
\(\frac{tanx}{sinx}-\frac{sinx}{cotx}=\frac{tanx.cotx-sin^2x}{sinx.cotx}=\frac{1-sin^2x}{cosx}=\frac{cos^2x}{cosx}=cosx\)
Bài 2:
\(A=\frac{cot^2x-cos^2x}{cot^2x}+\frac{sinx.cosx}{cotx}=\frac{sin^2x\left(cot^2x-cos^2x\right)}{cos^2x}+\frac{sinx.sinx.cosx}{cosx}\)
\(=\frac{cos^2x-cos^2x.sin^2x}{cos^2x}+sin^2x=1-sin^2x+sin^2x=1\)
\(B=cos^2x\left(cos^2x+sin^2x\right)+sin^2x=cos^2x+sin^2x=1\)
Bài 3:
A đề đúng chứ bạn? Là cos hay cot?
\(B=\frac{\frac{4sinx.cosx}{sin^2x}-\frac{3cos^2x}{sin^2x}}{\frac{1}{sin^2x}+3}=\frac{4cotx-3cot^2x}{1+cot^2x+3}=\frac{4.\left(-6\right)-3.\left(-6\right)^2}{1+\left(-6\right)^2+3}=...\)
Bài 4:
\(0< x< 90^0\Rightarrow cosx>0\)
\(\Rightarrow cosx=\sqrt{1-sin^2x}=\frac{4}{5}\)
\(tanx=\frac{sinx}{cosx}=\frac{3}{4}\) ; \(cotx=\frac{1}{tanx}=\frac{4}{3}\)
\(\Rightarrow A=\frac{\frac{4}{3}}{\frac{4}{3}-\frac{3}{4}}=\frac{16}{7}\)
\(\frac{3\pi}{2}< a< 2\pi\Rightarrow sina< 0\)
\(\Rightarrow sina=-\sqrt{1-cos^2a}=-\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(B=sina+cosa=\frac{1-\sqrt{3}}{2}\)
Bài 5:
\(0< a< \frac{\pi}{4}\Rightarrow0< 2a< \frac{\pi}{2}\Rightarrow sin2a>0\)
\(\Rightarrow sin2a=\sqrt{1-cos^2a}=\frac{\sqrt{21}}{5}\)
\(tan2a=\frac{sin2a}{cos2a}=\frac{\sqrt{21}}{2}\)
\(cot2a=\frac{1}{tan2a}=\frac{2\sqrt{21}}{21}\)
b/ \(-\frac{3\pi}{4}\le a\le-\frac{\pi}{2}\Rightarrow-\frac{3\pi}{2}\le2a\le-\pi\Rightarrow cos2a< 0\)
\(\Rightarrow cos2a=-\sqrt{1-sin^2a}=-\frac{7}{25}\)
\(tan2a=\frac{sin2a}{cos2a}=-\frac{24}{7}\)
\(cot2a=\frac{1}{tan2a}=-\frac{7}{24}\)
Bài 1:
a)
ĐK: $\cos x\neq 0$ $\Rightarrow \sin x\neq -1$. Ta có:
\(\frac{1-\sin x}{\cos x}=\frac{(1-\sin x)(1+\sin x)}{\cos x(1+\sin x)}=\frac{1-\sin ^2x}{\cos x(1+\sin x)}=\frac{\cos ^2x}{\cos x(1+\sin x)}=\frac{\cos x}{1+\sin x}\)
(đpcm)
b) ĐK: $\sin x; \cos x\neq 0$
\(\frac{\tan x}{\sin x}-\frac{\sin x}{\cot x}=\frac{\tan x\cot x-\sin ^2x}{\sin x\cot x}=\frac{1-\sin ^2x}{\sin x.\cot x}=\frac{\cos ^2x}{\sin x.\frac{\cos x}{\sin x}}=\frac{\cos ^2x}{\cos x}=\cos x\) (đpcm)
Bài 2: ĐK:..............
\(A=\frac{\cot ^2x-\cos ^2x}{\cot ^2x}+\frac{\sin x\cos x}{\cot x}=1-(\frac{\cos x}{\cot x})^2+\frac{\sin x\cos x}{\cot x}\)
\(=1-(\frac{\cos x}{\frac{\cos x}{\sin x}})^2+\frac{\sin x\cos x}{\frac{\cos x}{\sin x}}=1-\sin ^2x+\sin ^2x=1\) là giá trị không phụ thuộc vào biến $x$
Ta có đpcm.
\(B=\cos ^4x+\sin ^2x\cos ^2x+\sin ^2x=\cos ^2x(\cos ^2x+\sin ^2x)+\sin ^2x\)
\(=\cos ^2x.1+\sin ^2x=\cos ^2x+\sin ^2x=1\) là giá trị không phụ thuộc vào biến $x$
Ta có đpcm.
Bài 3:
ĐK:..............
\(\tan x=2\Leftrightarrow \frac{\sin x}{\cos x}=2\Rightarrow \sin x=2\cos x\)
\(\Rightarrow \sin ^2x=4\cos ^2x\Rightarrow 5\cos ^2x=\sin ^2x+\cos ^2x=1\Rightarrow \cos x=\pm \sqrt{\frac{1}{5}}\)
\(A=\frac{5\cos x+6\tan x}{5\cos x-6\tan x}=\frac{5\cos x+12}{5\cos x-12}=1+\frac{24}{5\cos x-12}=1+\frac{24}{5.\pm \sqrt{\frac{1}{5}}-12}\)
\(=1+\frac{24}{\pm \sqrt{5}-12}\)
-----------
ĐK:...........
\(\cot x=-6\Rightarrow \cos x=-6\sin x\)
\(B=\frac{4\sin x\cos x-3\cos ^2x}{1+3\sin ^2x}=\frac{4\sin x.(-6\sin x)-3(-6\sin x)^2}{\sin ^2x+\cos ^2x+3\sin ^2x}\)
\(=\frac{-132\sin ^2x}{4\sin ^2x+\cos ^2x}=\frac{-132\sin ^2x}{4\sin ^2x+(-6\sin x)^2}=\frac{-132\sin ^2x}{40\sin ^2x}=\frac{-33}{10}\)
Bài 4:
\(\sin x=\frac{3}{5}\Rightarrow \sin ^2x=\frac{9}{25}\)
\(A=\frac{\cot x}{\cot x-\tan x}=\frac{\frac{\cos x}{\sin x}}{\frac{\cos x}{\sin x}-\frac{\sin x}{\cos x}}=\frac{\cos ^2x}{\cos ^2x-\sin ^2x}=\frac{1-\sin ^2x}{1-\sin ^2x-\sin ^2x}\)
\(=\frac{1-\sin ^2x}{1-2\sin ^2x}=\frac{1-\frac{9}{25}}{1-\frac{18}{25}}=\frac{16}{7}\)
--------------------
\(\cos a=\frac{1}{2}\Rightarrow \sin ^2a=1-\cos ^2a=\frac{3}{4}\)
Vì $a\in (1,5\pi; 2\pi)\Rightarrow \sin a< 0\Rightarrow \sin a=\frac{-\sqrt{3}}{2}$
\(B=\sin a+\cos a\tan a=\sin a+\cos a. \frac{\sin a}{\cos a}=2\sin a=2.\frac{-\sqrt{3}}{2}=-\sqrt{3}\)
Lời giải:
a)
\(\cos 2a=\frac{2}{5}\Rightarrow \sin ^22a=1-(\cos 2a)^2=1-(\frac{2}{5})^2=\frac{21}{25}\)
Vì $a\in (0; \frac{\pi}{4})\Rightarrow 2a\in (0; \frac{\pi}{2})$
$\Rightarrow \sin 2a>0\Rightarrow \sin 2a=\frac{\sqrt{21}}{5}$
$\tan 2a=\frac{\sin 2a}{\cos 2a}=\frac{\sqrt{21}}{5.\frac{2}{5}}=\frac{\sqrt{21}}{2}$
$\cot 2a=\frac{1}{\tan 2a}=\frac{2}{\sqrt{21}}$
-------------------------
$\sin 2a=\frac{24}{25}\Rightarrow \cos ^22a=1-(\sin 2a)^2=\frac{49}{625}$
$a\in [\frac{-3}{4}\pi; \frac{-\pi}{2}]\Rightarrow 2a\in [\frac{-3}{2}\pi ; -\pi]\Rightarrow \cos 2a< 0$
$\Rightarrow \cos 2a=\frac{-7}{25}$
$\Rightarrow \tan 2a=\frac{\sin 2a}{\cos 2a}=\frac{24}{25.\frac{-7}{25}}=\frac{-24}{7}$
$\Rightarrow \cot 2a=\frac{-7}{24}$
