Question

Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A có đường phân giác BD, đường trung tuyến AM, đường cao AH.

a) Tính AB, BC, AH, AM. Biết AD = 3 cm; CD = 5 cm.

b) Gọi I, K lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC. Chứng minh rằng AM vuông góc vs IK.

Answer 1

a) Xét ΔABC có BD là đường phân giác ứng với cạnh AC(Gt)

nên \(\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{CD}{CB}\)(Tính chất đường phân giác của tam giác)

\(\Leftrightarrow\dfrac{AB}{3}=\dfrac{BC}{5}\)

Ta có: AD+CD=AC(D nằm giữa A và C)

nên AC=3+5=8(cm)

Đặt \(\dfrac{AB}{3}=\dfrac{BC}{5}=k\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB=3k\\BC=5k\end{matrix}\right.\)

Áp dụng định lí Pytago vào ΔABC vuông tại A, ta được:

\(BC^2=AB^2+AC^2\)

\(\Leftrightarrow\left(3k\right)^2+8^2=\left(5k\right)^2\)

\(\Leftrightarrow9k^2+64=25k^2\)

\(\Leftrightarrow16k^2=64\)

\(\Leftrightarrow k^2=4\)

hay k=2

Suy ra: \(\left\{{}\begin{matrix}AB=3\cdot k=3\cdot2=6\left(cm\right)\\BC=5\cdot k=5\cdot2=10\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy: AB=6cm; BC=10cm