Bài 1:
Để pt có hai nghiệm phân biệt thì \(\Delta=m^2-4(m-2)>0\Leftrightarrow m^2-4m+8>0\)
\(\Leftrightarrow (m-2)^2+4>0\) (luôn đúng với mọi \(m\in\mathbb{R}\) )
Khi đó áp dụng hệ thức Viete ta có: \(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=m\\ x_1x_2=m-2\end{matrix}\right.\)
a)
Từ đây ta có:
\(x_1^2+x_2^2=7\)
\(\Leftrightarrow (x_1+x_2)^2-2x_1x_2=7\)
\(\Leftrightarrow m^2-2(m-2)=7\)
\(\Leftrightarrow m^2-2m-3=0\)
\(\Leftrightarrow (m+1)(m-3)=0\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} m=-1\\ m=3\end{matrix}\right.\) ((đều thỏa mãn)
b)
\(x_1^3+x_2^3=18\)
\(\Leftrightarrow (x_1+x_2)^3-3x_1x_2(x_1+x_2)=18\)
\(\Leftrightarrow m^3-3m(m-2)=18\)
\(\Leftrightarrow m^2(m-3)+6(m-3)=0\)
\(\Leftrightarrow (m-3)(m^2+6)=0\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} m-3=0\\ m^2+6=0(\text{vô lý})\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow m=3\)
Bài 2:
PT có hai nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow \Delta'=m^2-(m^2-4)>0\Leftrightarrow 4>0\) (luôn đúng với mọi $m$)
Khi đó áp dụng hệ thức Viete ta có: \(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=2m\\ x_1x_2=m^2-4\end{matrix}\right.(*)\)
a) Ta có:
\(x_2=2x_1\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x_1+2x_1=2m\\ 2x_1^2=m^2-4\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3x_1=2m\\ 2x_1^2=m^2-4\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow \left(\frac{2m}{3}\right)^2=\frac{m^2-4}{2}\Leftrightarrow 8m^2=9m^2-36\)
\(\Leftrightarrow m^2=36\Rightarrow m=\pm 6\)
b)
\(3x_1+2x_2=7\)
\((*)\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2x_1+2x_2=4m\\ x_1.2x_2=2(m^2-4)\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2x_1+7-3x_1=4m\\ x_1(7-3x_1)=2m^2-8\end{matrix}\right.\)
Thay \(x_1=7-4m\) ta có : \(7x_1-3x_1^2=2m^2-8\)
\(\Leftrightarrow 7(7-4m)-3(7-4m)^2=2m^2-8\)
\(\Leftrightarrow 2m^2-8+3(7-4m)^2-7(7-4m)=0\)
\(\Leftrightarrow 50m^2-140m+90=0\)
\(\Leftrightarrow 10(m-1)(5m-9)=0\)
\(\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} m=1\\ m=\frac{9}{5}\end{matrix}\right.\)
