Question

bài 1: cho n là số nguyên. cmr:

a, A=n³-19n chia hết cho 6

b, B=n⁴-10n²+9 chia hết cho 384 (với n lẻ)

Answer 1

a. \(n^3-19n=n^3-n-18n=\left(n^2+1\right)n-18n=\left(n-1\right)n\left(n+1\right)-18n\)

Trong ba số tự nhiên liên tiếp sẽ có 1 số chia hết cho 3

\(\Rightarrow\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\) chia hết cho 3

Trong 3 số tự nhiên sẽ có ít nhất 1 số chia hết cho 2

\(\Rightarrow\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\) chia hết cho 2

Vì ( 2; 3 ) = 1 \(\Rightarrow\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\) chia hết cho 6

\(\Rightarrow\left(n-1\right)n\left(n+1\right)=6k\)

\(\Rightarrow\left(n-1\right)n\left(n+1\right)-18n=6\left(k-3n\right)\) chia hết cho 6

\(\Rightarrow n^3-19n\) chia hết cho 6 ( đpcm )

Answer 2

b. Đặt \(B=n^4-10n^2+9=\left(n^4-n^2\right)\left(n^2-9\right)=\left(n-3\right)\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n+3\right)\)

Vì n lẻ nên n = 2k +1 \(\left(k\in Z\right)\) thì:

\(B=\left(2k-2\right)2k\left(2k+2\right)\left(2k+4\right)=16\left(k-1\right)k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\Rightarrow B⋮16\)

Và ( k -1 ). k. ( k +1).(k+2) là tích của 4 số nguyên liên tiếp nên B có chứa bọi của 2, 3, 4 => B là bội của 24 hay B chia hết cho 24 (2)

Từ (1) và (2)=>A chia hết cho 16.24=384 (đpcm)