§1. Bất đẳng thức

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Nguyễn Tuấn

Ai giải giùm mình với

Bài tập Tất cả

 

Akai Haruma
17 tháng 1 2017 lúc 14:22

Lời giải:

Bài 1:

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng cộng mẫu:

( \(\frac{a_1^2}{x_1}+\frac{a_2^2}{x_2}+...+\frac{a_n^2}{x_n}\geq \frac{(a_1+a_2+...+a_n)^2}{x_1+x_2+...+x_n}\)- Bản chất chính là BĐT Cauchy-Schwarz thu gọn)

\(\text{VT}=\frac{a^{4030}}{a^{2014}(b+c-a)}+\frac{b^{4030}}{b^{2014}(a+c-b)}+\frac{c^{4030}}{c^{2014}(a+b-c)}\geq\frac{(a^{2015}+b^{2015}+c^{2015})^2}{a^{2014}(b+c)+b^{2014}(c+a)+c^{2014}(a+b)-(a^{2015}+b^{2015}+c^{2015})} \)

Giờ chỉ cần chứng minh \(a^{2014}(b+c)+b^{2014}(c+a)+c^{2014}(a+b)-(a^{2015}+b^{2015}+c^{2015})\leq a^{2015}+b^{2015}+c^{2015}\)

\(\Leftrightarrow (a-b)(a^{2014}-b^{2014})+(b-c)(b^{2014}-c^{2014})+(c-a)(c^{2014}-a^{2014})\geq 0\)

\(\Leftrightarrow (a-b)^2(a^{2013}+....+b^{2013})+(b-c)^2(b^{2013}+...+c^{2013})+(c-a)^2(c^{2013}+...+a^{2013})\geq 0\)

BĐT này luôn đúng với $a,b,c>0$

Do đó \(\text{VT}\geq \frac{a^{2015}+b^{2015}+c^{2015})^2}{a^{2015}+b^{2015}+c^{2015}}=a^{2015}+b^{2015}+c^{2015}\) ( đpcm)

Dấu $=$ xảy ra khi $a=b=c$

Akai Haruma
17 tháng 1 2017 lúc 14:42

Bài 2:

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

\(17\left ( a^2+\frac{1}{b^2} \right )=\left ( a^2+\frac{1}{b^2} \right )(1+4^2)\geq \left ( a+\frac{4}{b} \right )^2\)

\(\Rightarrow \sqrt{a^2+\frac{1}{b^2}}\geq \frac{a+\frac{4}{b}}{\sqrt{17}}\). Tương tự với các phân thức còn lại......

\(S\geq \frac{1}{\sqrt{17}}\left(a+b+c+\frac{4}{a}+\frac{4}{b}+\frac{4}{c}\right)\)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng cộng mẫu:

\(\frac{4}{a}+\frac{4}{b}+\frac{4}{c}\geq \frac{36}{a+b+c}\Rightarrow S\geq \frac{1}{\sqrt{17}}\left(a+b+c+\frac{36}{a+b+c}\right)\)

Áp dụng BĐT Am-Gm: \(a+b+c+\frac{9}{4(a+b+c)}\geq 2\sqrt{\frac{9}{4}}=3\)

Mặt khác, vì $a+b+c\leq\frac{3}{2}$ nên \(\frac{135}{4(a+b+c)}\geq \frac{45}{2}\)

\(\Rightarrow S\geq \frac{51}{2\sqrt{17}}=\frac{3\sqrt{17}}{2}\)

Vậy \(S_{\min}=\frac{3\sqrt{17}}{2}\Leftrightarrow (a,b,c)=\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right))\)


Các câu hỏi tương tự
Lê Quang Huy
Xem chi tiết
muon tim hieu
Xem chi tiết
Phạm Kim Oanh
Xem chi tiết
Vân Trang Bùi
Xem chi tiết
muon tim hieu
Xem chi tiết
Do van hoan
Xem chi tiết
Hồ Nguyễn Trường Thịnh
Xem chi tiết
Thành Nhật
Xem chi tiết
khải hoàng
Xem chi tiết