Question

a/ Với x>0, CM: x+\(\dfrac{1}{x}\)\(\ge\)2

b/ Cho a,b,c là 3 số dương, cm: \(\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{a+c}+\dfrac{c^2}{a+b}\ge\dfrac{a+b+c}{2}\)

Answer 1

b. Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel, ta có:

\(\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{a+c}+\dfrac{c^2}{a+b}=\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{b+c+a+c+a+b}=\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{2a+2b+2c}=\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\dfrac{a+b+c}{2}\)

Answer 2

a) Áp dụng BĐT Cauchy :

Ta có: \(x+\dfrac{1}{x}\) = \(\dfrac{x^2+1}{x}\) \(\ge\) \(\dfrac{2x}{x}\) = 2 => đpcm

=> Dấu = xảy ra khi x = 1

b) Áp dụng BĐT Svac-sơ ta có:

\(\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{a+c}+\dfrac{c^2}{a+b}\) \(\ge\) \(\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\dfrac{a+b+c}{2}\)

=> đpcm

=> Dấu bằng xảy ra <=> a = b = c

Answer 3

a/

áp dụng BĐT cauchy

ta có: \(x+\dfrac{1}{x}\ge2\sqrt{x.\dfrac{1}{x}}=2\)

dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(x=\dfrac{1}{x}\Rightarrow x=1\)

b/ áp dụng BĐT cauchy dạng Engel

ta có: \(\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{a+c}+\dfrac{c^2}{a+b}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\dfrac{a+b+c}{2}\)

đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c