Question

Cho ba số dương a,b,c . CMR :

\(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\) ≥ \(\dfrac{3}{2}\)

Answer 1

A = \(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\)

A = \(\dfrac{a^2}{a\left(b+c\right)}+\dfrac{b^2}{b\left(a+c\right)}+\dfrac{c^2}{c\left(a+b\right)}\)

Áp dụng BĐT Cô - Si dạng Engel vào bài toán , ta có :
\(\dfrac{a^2}{a\left(b+c\right)}+\dfrac{b^2}{b\left(a+c\right)}+\dfrac{c^2}{c\left(a+b\right)}\) ≥ \(\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ac\right)}\) ( * )

Ta lại có BĐT : x² + y² + z² ≥ xy + yz + zx

⇒ a² + b² + c² ≥ ab + bc + ac

⇔ ( a + b + c)² ≥ 3( ab + bc + ac)

⇔ \(\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{ab+bc+ac}\) ≥ 3 ( **)

Từ ( *;**) ⇒ \(\dfrac{a^2}{a\left(b+c\right)}+\dfrac{b^2}{b\left(a+c\right)}+\dfrac{c^2}{c\left(a+b\right)}\) ≥ \(\dfrac{3}{2}\)

⇒ \(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\) ≥ \(\dfrac{3}{2}\)

Answer 2

Đời về cơ bản là buồn... cười!!!Phùng Khánh LinhHong Ra Onchú tuổi gìNguyễn Ngô Minh TríNhã Doanh, và nhiều bạn khác...