Question

a. Cho biết \(\frac{x}{x^2+x+1}=-\frac{2}{3}\). Hãy tính giá trị của biểu thức \(\frac{x^1}{x^4+x^2+1}\)

b. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(\frac{x^2}{x^4+x^2+1}\). Giá trị lớn nhất đó đạt được tại giá trị nào của x??

Answer 1

Câu a bạn ghi lại đề, thấy biểu thức cần tính giá trị có gì đó sai sai

b/ Đặt \(P=\frac{x^2}{x^4+x^2+1}\)

- Với \(x=0\Rightarrow P=0\)

- Với \(x\ne0\) chia cả tử và mẫu cho \(x^2\) ta được:

\(P=\frac{1}{x^2+1+\frac{1}{x^2}}=\frac{1}{x^2-2.x.\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}+3}=\frac{1}{\left(x-\frac{1}{x}\right)^2+3}\)

Do \(\left(x-\frac{1}{x}\right)^2+3\ge3\Rightarrow\frac{1}{\left(x-\frac{1}{x}\right)^2+3}\le\frac{1}{3}\)

\(\Rightarrow P\le\frac{1}{3}\)

So sánh 2 giá trị \(P=0\) và \(P=\frac{1}{3}\) ta được \(P_{max}=\frac{1}{3}\) khi \(x-\frac{1}{x}=0\Rightarrow x=\pm1\)

Answer 2

Do \(\frac{x}{x^2+x+1}=\frac{-2}{3}\Rightarrow x\ne0\), chia cả tử và mẫu của vế trái cho \(x\) ta được:

\(\frac{1}{x+1+\frac{1}{x}}=\frac{-2}{3}\Leftrightarrow\frac{1}{x+\frac{1}{x}+1}=\frac{-2}{3}\Leftrightarrow x+\frac{1}{x}+1=\frac{-3}{2}\Rightarrow x+\frac{1}{x}=\frac{-3}{2}-1=\frac{-5}{2}\)

Đặt \(P=\frac{x^2}{x^4+x^2+1}=\frac{1}{x^2+1+\frac{1}{x^2}}=\frac{1}{x^2+2.x.\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}-2+1}\)

\(P=\frac{1}{\left(x+\frac{1}{x}\right)^2-1}=\frac{1}{\left(-\frac{5}{2}\right)^2-1}=\frac{4}{21}\)