*(8GP) Trích Câu 39, mã đề 115, đề kiểm tra giữa học kì II, môn Toán không chuyên, lớp 12, năm học 2022-2023, trường THPT Chu Văn An - Hà Nội:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = 2a, cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a. Gọi M là trung điểm của cạnh AD và (S) là mặt cầu ngoại tiếp hình tứ diện SCDM. Bán kính của (S) bằng:
A. \(\dfrac{3}{2}\)
B. \(\dfrac{\sqrt{11}}{2}\)
C. \(\dfrac{\sqrt{14}}{2}\)
D. \(\dfrac{\sqrt{26}}{2}\)
*Câu hỏi phụ: Liệu rằng, đơn vị của bán kính (S) trong 4 đáp án trên đã chính xác? Và liệu bán kính (S) có luôn bằng 1 trong 4 đáp án trên với mọi giá trị của a và thuộc tính hình khi thay đổi?
Mình sẽ trao 8GP cho bạn nào trả lời đúng đáp án, giải thích câu hỏi chính cũng như trả lời thuyết phục những câu hỏi phụ. Em cũng rất mong các anh chị giáo viên Toán hoc24 sẽ giúp em giải đáp thắc mắc câu hỏi phụ ạ.
Cách tính bài này đơn giản là tọa độ hóa nó (tứ diện cần tính ko đặc biệt, nhưng chóp ban đầu thì tọa độ hóa được), gọi A là gốc (0,0,0), quy ước a là 1 đơn vị độ dài, các tia AS, AB, AD lần lượt là Oz, Oy, Ox, ta có các tọa độ \(S\left(0,0,1\right)\); M(1,0,0), D(2,0,0), C(2,1,0), \(I\left(x;y;z\right)\) là tâm
\(SI=CI=DI=MI\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2+\left(z-1\right)^2=\left(x-1\right)^2+y^2+z^2\\x^2+y^2+\left(z-1\right)^2=\left(x-2\right)^2+y^2+z^2\\x^2+y^2+\left(z-1\right)^2=\left(x-2\right)^2+\left(y-1\right)^2+z^2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-z=0\\4x-2z=3\\4x+2y-2z=4\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow I\left(\dfrac{3}{2};\dfrac{1}{2};\dfrac{3}{2}\right)\)
\(\Rightarrow R=SI=\dfrac{\sqrt{11}}{2}\)
Do quy ước a là 1 đơn vị độ dài nên đáp án chính xác là \(R=\dfrac{a\sqrt{11}}{2}\)
Lý do đáp án chỉ có số mà thiếu a: theo tư duy của mình thì người ra đề mang hướng giải y như mình bên trên, tức là quy ước độ dài rồi tọa độ hóa, nhưng khi đưa ra đáp án cuối cùng lại quên chuyển từ quy ước về đơn vị thực nên thiếu a. Về cơ bản là người ta quên, ko có gì bí ẩn đáng suy nghĩ ở đây cả :D. Kích thước là a thì mọi kích thước độ dài sẽ phụ thuộc a.
canh đêm đăng r mà vẫn có ng đăng huhu
Chào Quoc Tran Anh Le,
Ta có thể giải bài toán bằng cách sử dụng định lý Pythagoras và định lý đồng quy của tứ diện.
Đặt $O$ là tâm của mặt cầu $(S)$, ta cần tìm bán kính $R=OS$. Gọi $H$ là trung điểm của $SC$.
Ta có $OH \perp SC$ và $OH$ cắt $SC$ tại $E$, ta cần tìm $OE=R-OS$. Khi đó ta có $OH^2 = OE^2 + HE^2$, hay $R^2-2R\times OS + OS^2 = OH^2 = OH^2= SA^2 + AH^2 = a^2 + \left(\dfrac{a}{2}\right)^2 = \dfrac{5a^2}{4}$.
Từ đó suy ra: $$OS^2 = \dfrac{5a^2}{4}-\dfrac{a^2}{4} = a^2$$
Vậy $OS = a$ và $R=\sqrt{2}a$.
Đáp án là $\textbf{(D)}\ \sqrt{\frac{26}{2}}$.
Câu hỏi phụ:
Đơn vị của bán kính trong 4 đáp án đều là đơn vị độ dài, do đó đơn vị này không được nêu rõ trong đề bài.Khi thay đổi giá trị của $a$, bán kính $(S)$ cũng thay đổi theo và không luôn bằng $1$.
