Xí câu dễ trước, câu 1 chắc lại phải nhờ chị Akai Haruma :)
2. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si:
+) \(\sqrt{1\cdot\left(x-1\right)}\le\frac{1+x-1}{2}=\frac{x}{2}\)
\(\Rightarrow\frac{\sqrt{x-1}}{x}\le\frac{x}{2}\cdot\frac{1}{x}=\frac{1}{2}\)
+) \(\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\sqrt{2\left(y-2\right)}\le\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\frac{2+y-2}{2}=\frac{y}{2\sqrt{2}}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{y-2}\le\frac{y}{2\sqrt{2}}\)
\(\Leftrightarrow\frac{\sqrt{y-2}}{y}\le\frac{1}{2\sqrt{2}}\)
+) \(\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot\sqrt{3\left(z-3\right)}\le\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot\frac{3+z-3}{2}=\frac{z}{2\sqrt{3}}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{z-3}\le\frac{z}{2\sqrt{3}}\)
\(\Leftrightarrow\frac{\sqrt{z-3}}{z}\le\frac{1}{2\sqrt{3}}\)
Cộng theo vế của 3 bđt :
\(\frac{\sqrt{x-1}}{x}+\frac{\sqrt{y-2}}{y}+\frac{\sqrt{z-3}}{z}\le\frac{1}{2}+\frac{1}{2\sqrt{2}}+\frac{1}{2\sqrt{3}}\)
\(\Leftrightarrow A\le\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=4\\z=6\end{matrix}\right.\)
Câu 1 đương nhiên dễ với Nguyên Pro này :)))
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki:
\(\sqrt{1+a^4}=\frac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{\left(1^2+1^2\right)\left(1+a^4\right)}\)\(\ge\frac{\sqrt{2}}{2}\left(1+a^2\right)\)\(\ge\frac{\sqrt{2}}{2}.\frac{1}{2}\left(1+a\right)^2\)\(=\frac{\sqrt{2}}{4}\left(1+a\right)^2\)
Ttự, c/m:\(\sqrt{1+b^4}\ge\frac{\sqrt{2}}{4}\left(1+b\right)^2\)
\(\Rightarrow A\ge\frac{\sqrt{2}}{4}\left[\left(1+a\right)^2+\left(1+b\right)^2\right]\)
Đến đây tự làm nốt nhé!
#Walker
1. Ta xét bất đẳng thức sau :
\(\sqrt{1+a^4}+\sqrt{1+b^4}\ge\sqrt{4+\left(a^2+b^2\right)^2}\)
\(\Leftrightarrow1+a^4+1+b^4+2\sqrt{\left(1+a^4\right)\left(1+b^2\right)}\ge4+\left(a^2+b^2\right)^2\)
\(\Leftrightarrow a^4+b^4+2+2\sqrt{\left(1+a^4\right)\left(1+b^4\right)}\ge4+a^4+b^4+2a^2b^2\)
\(\Leftrightarrow2\sqrt{\left(1+a^4\right)\left(1+b^4\right)}\ge2+2a^2b^2\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(1+a^4\right)\left(1+b^4\right)}\ge1+a^2b^2\)
\(\Leftrightarrow\left(1+a^4\right)\left(1+b^4\right)\ge\left(a^2b^2+1\right)^2\)
\(\Leftrightarrow a^4+b^4+a^4b^4+1\ge a^4b^4+2a^2b^2+1\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-b^2\right)^2\ge0\)( luôn đúng )
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b\)
Khi đó ta có : \(A\ge\sqrt{4+\left(a^2+b^2\right)^2}\)(1)
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si:
\(a^2+b^2\ge2ab;2\left(a^2+\frac{1}{4}\right)\ge2a;2\left(b^2+\frac{1}{4}\right)\ge2b\)
Cộng theo vế 3 bđt :
\(a^2+b^2+2a^2+\frac{1}{2}+2b^2+\frac{1}{2}\ge2a+2b+2ab\)
\(\Leftrightarrow3a^2+3b^2+1\ge2\left(a+b+ab\right)\)
\(\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2\right)\ge2\left(a+b+ab\right)-1\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge\frac{2\left(a+b+ab\right)-1}{3}\)(*)
Theo giả thiết : \(\left(1+a\right)\left(1+b\right)=\frac{9}{4}\)
\(\Leftrightarrow a+b+ab+1=\frac{9}{4}\)
\(\Leftrightarrow a+b+ab=\frac{5}{4}\)
Thay vào (*) ta được : \(a^2+b^2\ge\frac{2\cdot\frac{5}{4}-1}{3}=\frac{1}{2}\)(2)
Từ (1) và (2) ta có :
\(A\ge\sqrt{4+\left(\frac{1}{2}\right)^2}=\frac{\sqrt{17}}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}\)
Ổn chưa nào :")
Em thử bài 1 nhá:)
1. \(A\ge\sqrt{4+\left(a^2+b^2\right)^2}\)
Mặt khác từ giả thiết có ngay: \(\frac{\left(a+1+b+1\right)^2}{4}\ge\left(1+a\right)\left(1+b\right)=\frac{9}{4}\Rightarrow a+1+b+1\ge3\Rightarrow a+b\ge1\)
Suy ra \(A\ge\sqrt{4+\left(a^2+b^2\right)^2}\)
\(\ge\sqrt{4+\left[\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\right]^2}=\frac{\sqrt{17}}{2}\)
ĐẲng thức xảy ra khi a = b = 1/2
Câu 1 chuyên Hà Tĩnh, câu 2 chuyên sư phạm nhé
