Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Vương Tuấn Khải

1.cho a, b, c thỏa mãn \(a^3+b^3+c^3=3abc\)

tính gtbt: \(P=\left(1+\frac{a}{b}\right)\left(1+\frac{b}{c}\right)\left(1+\frac{c}{a}\right)\)

2. tìm nghiệm nguyên dương của phương trình \(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}+\frac{9}{xyz}=1\)

Nguyễn Việt Lâm
30 tháng 5 2019 lúc 20:49

\(a^3+b^3+c^3-3abc=0\Leftrightarrow a^3+b^3+3ab\left(a+b\right)-3ab\left(a+b\right)+c^3-3abc=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b+c\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+2ab+b^2-ab-ac+c^2\right)-3ab\left(a+b+c\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a+b+c=0\\a=b=c\end{matrix}\right.\)

TH1: \(a+b+c=0\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=-c\\a+c=-b\\b+c=-a\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow P=\frac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)}{abc}=\frac{\left(-c\right)\left(-b\right)\left(-a\right)}{abc}=-1\)

TH2: \(a=b=c\Rightarrow P=\left(1+1\right)\left(1+1\right)\left(1+1\right)=8\)

Nguyễn Việt Lâm
30 tháng 5 2019 lúc 20:57

b/ \(\frac{1}{xy}+\frac{1}{xz}+\frac{1}{yz}+9.xyz=1\Leftrightarrow x+y+z+9=xyz\)

Không mất tính tổng quát, giả sử \(x\le y\le z\)

Nếu \(z< 3\Rightarrow VP\le8< 9< VT\Rightarrow ptvn\) \(\Rightarrow z\ge3\)

\(\Rightarrow x+y+z+9\le3z+9\le3\left(z+3\right)\le6z\Rightarrow xyz\le6z\)

\(\Rightarrow xy\le6\Rightarrow\left(x;y\right)=\left(1;1\right);\left(1;2\right);\left(1;3\right);\left(1;4\right);\left(1;5\right);\left(1;6\right);\left(2;3\right)\)

- Nếu \(\left(x;y\right)=\left(1;1\right)\Rightarrow z+11=z\left(l\right)\)

- Nếu \(\left(x;y\right)=\left(1;2\right)\Rightarrow z+12=2z\Rightarrow z=12\)

- Nếu \(\left(x;y\right)=\left(1;3\right)\Rightarrow z+13=3z\left(l\right)\)

- Nếu ....


Các câu hỏi tương tự
le duc minh vuong
Xem chi tiết
Lê Thanh Hân
Xem chi tiết
Văn Thắng Hồ
Xem chi tiết
Phác Chí Mẫn
Xem chi tiết
Lê Đình Quân
Xem chi tiết
Lê Đình Quân
Xem chi tiết
Trần Thị Hảo
Xem chi tiết
fghj
Xem chi tiết
𝓓𝓾𝔂 𝓐𝓷𝓱
Xem chi tiết