Question

1) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình x+1=m\(\sqrt{2x^2+1}\)có 2 nghiệm phân biệt

A. \(\frac{-\sqrt{2}}{2}< m< \frac{\sqrt{6}}{6}\) B. \(m< \frac{\sqrt{2}}{2}\) C. \(m>\frac{\sqrt{6}}{6}\) D. \(\text{​​}\text{​​}\frac{\sqrt{2}}{2}< m< \frac{\sqrt{6}}{2}\)

2) Cho hình chóp S.ABC có đáy là ΔABC vuông cân ở B, AC=a\(\sqrt{2}\), SA ⊥ (ABC), SA=a. Gọi G là trọng tâm của ΔSBC, mp(α) đi qua A, G và song song với BC chia khối chóp thành hai phần. Gọi V là thể tích của khối đa diện không chứa đỉnh S. Tính V

A. \(\frac{4a^3}{9}\) B. \(\frac{4a^3}{27}\) C. \(\frac{5a^3}{54}\) D.\(\frac{2a^3}{9}\)

Answer 1

Câu 1:

Giải trâu bò: \(m=\frac{x+1}{\sqrt{2x^2+1}}\)

Đặt \(f\left(x\right)=\frac{x+1}{\sqrt{2x^2+1}}\Rightarrow f'\left(x\right)=\frac{\sqrt{2x^2+1}-\frac{\left(x+1\right).2x}{\sqrt{2x^2+1}}}{2x^2+1}=\frac{2x^2+1-2x^2-2x}{\left(2x^2+1\right)\sqrt{2x^2+1}}=\frac{1-2x}{\left(2x^2+1\right)\sqrt{2x^2+1}}\)

\(f'\left(x\right)=0\Rightarrow x=\frac{1}{2}\Rightarrow\) từ BBT ta thấy hàm số đạt cực đại tại \(x=\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow m< f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\sqrt{6}}{2}\)

Mặt khác ta có:

\(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\frac{x+1}{\sqrt{2x^2+1}}=lim\frac{1+\frac{1}{x}}{\sqrt{2+\frac{1}{x^2}}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\frac{x+1}{\sqrt{2x^2+1}}=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\frac{1+\frac{1}{x}}{-\sqrt{2+\frac{1}{x^2}}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\Rightarrow-\frac{\sqrt{2}}{2}< m< \frac{\sqrt{6}}{2}\)

Answer 2

Câu 2:

\(V_{S.ABC}=\frac{1}{6}SA.AB.BC=\frac{1}{6}a^3\)

Qua G kẻ đường thẳng song song BC lần lượt cắt SB, SC tại M và N

Gọi P là trung điểm SC, áp dụng định lý Talet:

\(\frac{PN}{PC}=\frac{PG}{BP}=\frac{1}{3}\Rightarrow\frac{SN}{SC}=\frac{SM}{SB}=\frac{PN+SP}{2SP}=\frac{PN+PC}{2PC}=\frac{2}{3}\)

Áp dụng công thức Simsons:

\(\frac{V_{S.ANM}}{V_{S.ABC}}=\frac{SA}{SA}.\frac{SN}{SC}.\frac{SM}{SB}=1.\frac{2}{3}.\frac{2}{3}=\frac{4}{9}\Rightarrow V_{S.ANM}=\frac{4}{9}V_{SABC}=\frac{2}{27}a^3\)

\(\Rightarrow V_{ABCNM}=V_{SABC}-V_{SANM}=\frac{1}{6}a^3-\frac{2}{27}a^3=\frac{5}{54}a^3\)