1 nếu \(\int_0^2\) f(x)dx=-10 thì \(\int_0^2f\left(2x\right)dx\) bằng
2 cho số phức z thỏa z+\(\)\(z+3\overline{z}=8+14i\). Phần ảo của số phức đã cho bằng
3 diện tích hình phẳng giói hạn bỏi các đường y =lnx, y=0, x=\(\frac{1}{e}\) và x=e
4 biết \(\int_0^{\frac{\pi}{3}}f\left(x\right)=4\) , giá trị của \(\int_0^{\frac{\pi}{3}}\left[f\left(x\right)+2sinx\right]dx\)
5 cho hai số thực x và y thỏa mãn (4x+y)+(y-x)i=(x+2y-6)+(3x-1)i với i là đơn vị ảo . Gía trị của 6x-y bằng
6 họ tất cả nguyên hàm của hàm số f(x)=\(\frac{x+2}{x+1}\) trên khoảng (-1,\(+\infty\)) là
7 trong ko gian Oxyz, cho hai điểm M (-3;1;2) và N (1;3;-3) , mat95 phẳng vuông góc với MN tại điểm M có pt là
8 cho hình nón có chiều cao bằng \(a\sqrt{6}\) và thiết diện đi qua trục của khối nón đó là tam giác đều, thể tích khối nón bằng
9 cho số phức z thỏa mãn 2(\(\overline{z}\) +i)+(2+i)z=6+5i. Mô đun của số phức z bằng
10 trong ko gian Oxyz, cho \(\overline{a}\left(2;3;-1\right),\overline{b}\left(-1;0;2\right)\) . Tính \(\overrightarrow{a}\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)\)
11 họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) =x^4 -3e^x là
12 cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng 2a. Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho bằng
13 cho hàm số f(x) liên tục trên R , biết e^X là một nguyên hàm của hàm số \(f\left(x\right)e^{-x}\) . Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số x.\(f^,\left(x\right)là\)
14 biết\(\int\frac{dx}{e^x+e^{-x}+2}\) =\(a\left(e^x+1\right)^b+C\) với a,b,c \(\in Z\) . Tính S=2a-3b
15 họ tất cả các nguyên hàm của ham số y =6xlnx trên khoảng \(\left(0;+\infty\right)\) là
16 cho hình trụ có chiều cao bằng 4a. Biết rằng khi cắt hình trụ bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trục một khoảng 2a, thiết diện thu dc là một hình vuông. Thể tích khối trụ dc giới hạn bởi hình trụ đã cho bằng
17 trong ko gian oxyz, cho điểm M (1;-3;2) và mặt phang73 (P) :x-3y-2z+5=0 , biết mặt phẳng (Q) :ax-2y+bz-7=0 đi qua M và vuông góc (P) , giá trị của 3a+2b bằng
18 cho hình nón có bán kính bằng \(a\sqrt{3}\) và chiêu cao a. Một mp thay đổi qa đỉnh nón và cắt hình nón theo thiết diện là tam giác cân. Tính diện tích lớn nhất tam giác cân đó
1. Mình nghĩ bạn viết sai đề. ĐK nếu $\int ^4_0f(x)dx=-10$
Ta có:
\(\int ^2_0f(2x)f(x)=\frac{1}{2}\int ^2_0f(2x)d(2x)=\frac{1}{2}\int ^4_0f(x)dx=\frac{1}{2}.(-10)=-5\)
2.
Đặt $z=a+bi$ thì:
$z+z+3\overline{z}=a+bi+a+bi+3(a-bi)=5a-bi=8+14i$
$\Rightarrow b=-14$ là phần ảo của số phức.
3.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường đã cho là:
\(\int ^e_{\frac{1}{e}}|\ln x|dx=\int ^e_1\ln xdx-\int^1_{\frac{1}{e}}\ln xdx= 2e-\frac{2}{e}\) (đvdt)
4.
\(\int^{\frac{\pi}{3}}_{0}[f(x)+2\sin x]dx=\int ^{\frac{\pi}{3}}_{0}f(x)dx+2\int ^{\frac{\pi}{3}}_{0}\sin xdx\)
\(=4-2\cos x|^{\frac{\pi}{3}}_{0}=5\)
5.
$(4x+y)+(y-x)i=(x+2y-6)+(3x-1)i$
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 4x+y=x+2y-6\\ y-x=3x-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3x-y=-6\\ -4x+y=-1\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x=7\\ y=27\end{matrix}\right.\)
$\Rightarrow 6x-y=15$
6.
\(\int f(x)dx=\int \frac{x+2}{x+1}dx=\int (1+\frac{1}{x+1})dx=\int dx+\int \frac{d(x+1)}{x+1}=x+\ln |x+1|+c\)
\(=x+\ln (x+1)+c\) với $x\in (-1; +\infty)$
7.
\(M(-3,1,2); N(1,3,-3)\Rightarrow \overrightarrow{MN}=(4, 2, -5)\)
Vì mp $(P)$ cần tìm vuông góc với $MN$ nên VTPT của $(P)$ chính là $\overrightarrow{MN}=(4,2,-5)$
PTMP $(P)$ có dạng:
$4(x-x_M)+2(y-y_M)-5(z-z_M)=0$
$\Leftrightarrow 4(x+3)+2(y-1)-5(z-2)=0$
$\Leftrightarrow 4x+2y-5z+20=0$
8.
Thiết diện đi qua trục của khối nón là tam giác đều, nghĩa là độ dài đường sinh bằng đường kính đáy hình nón
$\Leftrightarrow l=2R$
Áp dụng định lý Pitago: $h^2=l^2-R^2$
$\Leftrightarrow (a\sqrt{6})^2=(2R)^2-R^2\Rightarrow R=\sqrt{2}a$
Thể tích khối nón: \(V=\frac{1}{3}\pi R^2h=\frac{1}{3}\pi (\sqrt{2}a)^2.a\sqrt{6}=\frac{2\sqrt{6}}{3}\pi a^3\)
9.
Đặt $z=a+bi$ với $a,b$ là các số thực.
$2(\overline{z}+i)+(2+i)z=6+5i$
$\Leftrightarrow 2(a-bi+i)+(2+i)(a+bi)=6+5i$
$\Leftrightarrow (4a-b)+(a+2)i=6+5i$
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix}
4a-b=6\\
a+2=5\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}
a=3\\
b=6\end{matrix}\right.\)
Mô đun của số phức là: $|z|=\sqrt{a^2+b^2}=3\sqrt{5}$
10.
$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(2-1, 3+0, -1+2)=(1,3,1)$
\(\overrightarrow{a}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})=2.1+3.3+(-1).1=10\)
11.
\(\int f(x)dx=\int (x^4-3e^x)dx=\int x^4dx-3\int e^xdx=\frac{x^5}{5}-3e^x+C\)
12.
$O$ là tâm đáy $ABCD$ thì $SO\perp (ABCD)$
Đường trung trực của $SA$ cắt $SO$ tại $I$ thì $IA=IS$
$I\in SO$ là trục đối xứng của hình chóp tứ giác đều nên $IA=IB=IC=ID$
Vậy $I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Đặt $IS=IA=R$
$OA=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}\sqrt{AB^2+BC^2}=\frac{1}{2}\sqrt{(2a)^2+(2a)^2}=a\sqrt{2}$
$SO=\sqrt{SA^2-OA^2}=\sqrt{(2a)^2-(a\sqrt{2})^2}=\sqrt{2}a$
Ta có:
$IO=SO-SI=\sqrt{2}a-R(1)$
$IO^2+AO^2=AI^2\Leftrightarrow IO^2+(a\sqrt{2})^2=R^2(2)$
Từ $(1);(2)\Rightarrow R=\sqrt{2}a$
13.
$e^x$ là nguyên hàm của $f(x)e^{-x}$
$\Rightarrow f(x)e^{-x}=(e^x)'=e^x$
$\Rightarrow f(x)=e^{2x}\Rightarrow f'(x)=2e^{2x}$
Do đó:
$\int xf'(x)dx=\int x.2e^{2x}dx=2\int xe^{2x}dx$
Đặt $u=x; dv=e^{2x}dx$
$\Rightarrow du=dx, v=\frac{e^{2x}}{2}$
$\Rightarrow 2\int xe^{2x}dx=2\int udv=2(uv-\int vdu)=2(x.\frac{e^{2x}}{2}-\int \frac{e^{2x}}{2}dx)$
$=xe^{2x}-\int e^{2x}dx=xe^{2x}-\frac{e^{2x}}{2}+c$
14.
\(\int \frac{dx}{e^x+e^{-x}+2}=\int \frac{e^xdx}{e^{2x}+2e^x+1}=\int \frac{e^xdx}{(e^x+1)^2}=\int \frac{d(e^x+1)}{(e^x+1)^2}\)
\(=\frac{-1}{e^x+1}+C=-(e^x+1)^{-1}+C\)
\(\Rightarrow a=-1; b=-1\Rightarrow S=2a-3b=1\)
15.
\(I=\int 6x\ln xdx=6\int x\ln xdx\)
Đặt \(\left\{\begin{matrix} u=\ln x\\ dv=xdx\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} du=\frac{dx}{x}\\ v=\frac{x^2}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow I=6(\ln x. \frac{x^2}{2}-\int \frac{x}{2}dx)=3x^2\ln x-3\int xdx=3x^2\ln x-\frac{3}{2}x^2+C\)
16.
Giả sử hình trụ có tâm đáy trên là $O$. Mặt phẳng đã cho cắt $(O)$ tại $A,B$. Kẻ đường cao $OH$ xuống $AB$. Theo bài ra ta có $OH=2a$
Dễ thấy $H$ là trung điểm của $AB$ nên $AH=\frac{AB}{2}=2a$
Do đó: $R=AO=\sqrt{OH^2+AH^2}=2\sqrt{2}a$
Thể tích khối trụ: $V=\pi R^2.h=\pi. (2\sqrt{2}a)^2.4a=32a^3\pi$ (đơn vị thể tích)
17.
MP $(Q)$ đi qua $M$ nên:
$ax_M-2y_M+bz_M-7=0\Leftrightarrow a+6+2b-7=0$
$\Leftrightarrow a+2b=1(1)$
Mặt khác $(P)\perp (Q)$ nên VTPT của $(P)$ vuông góc với VTPT của $(Q)$
$\Leftrightarrow (1,-3,-2)\perp (a,-2,b)$
$\Leftrightarrow a+6-2b=0$
$\Leftrightarrow a-2b=-6(2)$
Từ $(1);(2)\Rightarrow a=\frac{-5}{2}; b=\frac{7}{4}$
$\Rightarrow 3a+2b=-4$
18.
Mặt phẳng đi qua đỉnh hình nón cắt hình nón theo thiết diện tam giác cân $ABC$ với $A$ là đỉnh hình nón.
Kẻ $OH\perp BC$ tại $H$.
Chiều cao của tam giác $ABC$ là:
$AH=\sqrt{AO^2+OH^2}=\sqrt{a^2+OH^2}$
Lại có:
$BH=\sqrt{OB^2-OH^2}=\sqrt{(a\sqrt{3})^2-OH^2}=\sqrt{3a^2-OH^2}$
$\Rightarrow BC=2BH=2\sqrt{3a^2-OH^2}$
Diện tích tam giác $ABC$:
$S=\frac{AH.BC}{2}=\sqrt{a^2+OH^2}.\sqrt{3a^2-OH^2}=\sqrt{(a^2+OH^2)(3a^2-OH^2)}$
$\leq \frac{a^2+OH^2+3a^2-OH^2}{2}=2a^2$ theo BĐT AM-GM
Vậy $S_{\max}=2a^2$