Violympic toán 8

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
phạm gia bảo

1 . Giải phương trình : \(2x+3+\sqrt{4x^2+9x+2}=2\sqrt{x+2}+\sqrt{4x+1}\)

2 . Cho a,b,c là ba số thực dương thỏa mãn \(a^2+b^2+c^2=3\) . CMR : \(\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{c}}+\frac{c}{\sqrt{a}}\ge ab+bc+ca\)

Nguyễn Việt Lâm
9 tháng 3 2020 lúc 23:17

1. ĐKXĐ: ...

Đặt \(2\sqrt{x+2}+\sqrt{4x+1}=t\ge\sqrt{7}\)

\(\Rightarrow t^2=8x+9+4\sqrt{4x^2+9x+2}\)

\(\Rightarrow2x+\sqrt{4x^2+9x+2}=\frac{t^2-9}{4}\)

Phương trình trở thành:

\(\frac{t^2-9}{4}+3=t\)

\(\Leftrightarrow t^2-4t+3=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t=1\left(l\right)\\t=3\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow4\sqrt{4x^2+9x+2}=t^2-\left(8x+9\right)=-8x\) (\(x\le0\))

\(\Leftrightarrow\sqrt{4x^2+9x+2}=-2x\)

\(\Leftrightarrow4x^2+9x+2=4x^2\Rightarrow x=-\frac{2}{9}\)

Khách vãng lai đã xóa
Nguyễn Việt Lâm
9 tháng 3 2020 lúc 23:21

Bài 2:

Ta có: \(a+b+c\le\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}\Rightarrow3\ge a+b+c\)

Do \(\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{c}}+\frac{c}{\sqrt{a}}\ge\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\)

Nên BĐT sẽ được chứng minh nếu ta chỉ ra rằng:

\(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\ge ab+bc+ca\)

Thật vậy, ta có:

\(\sqrt{a}+\sqrt{a}+a^2\ge3a\) ; \(\sqrt{b}+\sqrt{b}+b^2\ge3b\) ; \(\sqrt{c}+\sqrt{c}+c^2\ge3c\)

\(\Rightarrow2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)+a^2+b^2+c^2\ge3\left(a+b+c\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)

\(\Leftrightarrow2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)+a^2+b^2+c^2\ge a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\ge ab+bc+ca\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)

Khách vãng lai đã xóa
Hoàng Thị Ánh Phương
10 tháng 3 2020 lúc 9:06

Bai 1 :

Violympic toán 8

Violympic toán 8

Khách vãng lai đã xóa
Hoàng Thị Ánh Phương
10 tháng 3 2020 lúc 9:12

Bài 2 :

Ta có\(VT=\frac{a^2}{a\sqrt{b}}+\frac{b^2}{b\sqrt{c}}+\frac{c^2}{c\sqrt{a}}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a\sqrt{b}+b\sqrt{c}+c\sqrt{a}}\)

\(a\sqrt{b}\le\frac{a^2+b}{2},b\sqrt{c}\le\frac{b^2+c}{2},c\sqrt{a}\le\frac{c^2+a}{2}\)

\(\Rightarrow VT\ge\frac{2\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2+a+b+c}=\frac{2\left(a+b+c\right)^2}{3+a+b+c}\)

Lại có : \(a+b+c\le\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}=3\)

\(\Rightarrow VT\ge\frac{2\left(a+b+c\right)^2}{3+3}=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\ge ab+bc+ac\left(đpcm\right)\)

Dấu " = " xảy ra khi a=b=c=1

Khách vãng lai đã xóa

Các câu hỏi tương tự
CCDT
Xem chi tiết
๖ۣۜDũ๖ۣۜN๖ۣۜG
Xem chi tiết
Trần Anh Thơ
Xem chi tiết
Trần Anh Thơ
Xem chi tiết
๖ۣۜDũ๖ۣۜN๖ۣۜG
Xem chi tiết
Trần Anh Thơ
Xem chi tiết
bababa ânnnanana
Xem chi tiết
Lê Trường Lân
Xem chi tiết
Trần Anh Thơ
Xem chi tiết