Bài 3: Những hằng đẳng thức đáng nhớ

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
tiêu mỹ ly

1) cho các số a,b,c dương thỏa mãn \(a^3+b^3+c^3=3abc\). CMRa=b=c

2) cho x,y,z thỏa mãn xyz=1 và \(x+y+z=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\). Tính A=\(x^{2018}+2019^y-z^x\)

3) Cho \(\frac{ay-bx}{c}=\frac{cx-az}{b}=\frac{bz-cy}{a}.CMR\left(ax+by+cz\right)^2=\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

Nguyễn Thành Trương
30 tháng 10 2019 lúc 19:32

1)

Ta có : a^3+b^3+c^3=(a+b+c).(a^2+b^2+c^2-a.b-b.c-a.c)+3.a.b.c=3.a.b.c

=(a+b+c).(a^2+b^2+c^2-a.b-b.c-a.c)=0

Ta thấy:a,b,c là số dương nên a+b+c khác 0 suy ra (a^2+b^2+c^2-a.b-b.c-a.c) =0 nên a=b=c

Vậy a=b=c

Khách vãng lai đã xóa
Akai Haruma
31 tháng 10 2019 lúc 19:35

Bài 2:

Từ $xyz=1$ suy ra:

\(x+y+z=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=yz+xz+xy\)

\(\Leftrightarrow xy+yz+xz-x-y-z=0\)

\(\Leftrightarrow (xy-x-y+1)+yz+xz-z-1=0\)

\(\Leftrightarrow (x-1)(y-1)+yz+xz-z-xyz=0\)

\(\Leftrightarrow (x-1)(y-1)+z(y-1)-xz(y-1)=0\)

\(\Leftrightarrow (y-1)(x-1+z-xz)=0\)

\(\Leftrightarrow (y-1)[(x-1)-z(x-1)]=0\Leftrightarrow (y-1)(x-1)(1-z)=0\)

\(\Rightarrow \left[\begin{matrix} x=1\\ y=1\\ z=1\end{matrix}\right.\)

Nếu $x=1\Rightarrow yz=1$

$A=x^{2018}+2019^y-z^x=1+2019^y-z=1+2019^y-\frac{1}{y}$

Nếu $y=1\Rightarrow xz=1$

$A=x^{2018}+2019-z^x=x^{2018}+2019-\frac{1}{x^x}$

Nếu $z=1\Rightarrow xy=1$

$A=\frac{1}{y^{2018}}+2019^y-1$

Tóm lại với đkđb vẫn chưa tính được giá trị cụ thể của $A$

Khách vãng lai đã xóa
Akai Haruma
31 tháng 10 2019 lúc 19:39

Bài 1:

\(a^3+b^3+c^3=3abc\)

\(\Leftrightarrow (a+b)^3-3ab(a+b)+c^3=3abc\)

\(\Leftrightarrow (a+b)^3+c^3-3ab(a+b+c)=0\)

\(\Leftrightarrow (a+b+c)[(a+b)^2-(a+b)c+c^2]-3ab(a+b+c)=0\)

\(\Leftrightarrow (a+b+c)[(a+b)^2-(a+b)c+c^2-3ab]=0\)

\(\Leftrightarrow (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)=0\)

Vì $a,b,c$ dương nên $a+b+c\neq 0$

Do đó $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=0$

$\Leftrightarrow \frac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{2}=0$

$\Leftrightarrow (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0$

Do $(a-b)^2; (b-c)^2; (c-a)^2\geq 0$ với mọi $a,b,c>0$

Suy ra để tổng của chúng bằng $0$ thì $(a-b)^2=(b-c)^2=(c-a)^2=0$

$\Rightarow a=b=c$ (đpcm)

Khách vãng lai đã xóa
Akai Haruma
31 tháng 10 2019 lúc 21:05

Bài 3:

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:

\(\frac{ay-bx}{c}=\frac{cx-az}{b}=\frac{bz-cy}{a}\)

\(\Rightarrow \frac{ayz-bxz}{cz}=\frac{cxy-azy}{by}=\frac{bzx-cyx}{ax}=\frac{ayz-bxz+cxy-azy+bzx-cyx}{cz+by+ax}=0\)

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} ayz-bxz=0\\ cxy-azy=0\\ bzx-cyx=0\end{matrix}\right.\Rightarrow ayz=bxz=cxy\)

\(\Rightarrow \frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}\)

Đặt \(\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}=t\Rightarrow a=xt; b=yt; c=zt\)

Khi đó:

\((ax+by+cz)^2=(x^2t+y^2t+z^2t)^2=t^2(x^2+y^2+z^2)^2\)

\((x^2+y^2+z^2)(a^2+b^2+c^2)=(x^2+y^2+z^2)(x^2t^2+y^2t^2+z^2t^2)=t^2(x^2+y^2+z^2)^2\)

Từ đây ta có đpcm.

Khách vãng lai đã xóa

Các câu hỏi tương tự
Tiểu Đào
Xem chi tiết
Trang
Xem chi tiết
Ruby
Xem chi tiết
Quỳnh Như
Xem chi tiết
Lê Thị Hồng Vân
Xem chi tiết
Nguyễn Quỳnh Trang
Xem chi tiết
Thương Thương
Xem chi tiết
Tiểu Đào
Xem chi tiết
Đậu Thị Tường Vy
Xem chi tiết