Ta chứng minh bổ đề: Với x < y; m >0 thì \(\frac{x}{y}< \frac{x+m}{y+m}\)
\(\Leftrightarrow xy+xm< xy+ym\Leftrightarrow xm< ym\Leftrightarrow x< y\)(đúng)
Áp dụng: Ta có: a < a+b; b < b+c; c < a+c( vì a,b,c>0)
Do đó \(VT< \frac{a+c}{a+b+c}+\frac{b+a}{a+b+c}+\frac{c+b}{a+b+c}=\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)
Vậy..
cho a,b,c là các số dương thỏa mãn : a+b+c=3
cmr : \(\frac{1}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}\ge\frac{3}{2}\)
Cho 3 số thực dương abc
CMR \(\frac{a^2+b^2}{a+b}+\frac{b^2+c^2}{b+c}=\frac{a^2+c^2}{a+c}\le\frac{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}{a+b+c}\)
Cho ba số thực dương a,b,c
CMR : \(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+3\ge4\left(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\right)\)
Cho a, b, c là các số thực dương abc=1. CMR: \(\frac{1}{ab+a+2}+\frac{1}{bc+b+2}+\frac{1}{ca+c+2}\le\frac{3}{4}\)
a) cho x,y dương. CMR: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)
b) cho a+b+c=1 CMR: \(\frac{a}{a+b^2}+\frac{b}{b+c^2}+\frac{c}{c+a^2}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a+b+c=0. CMR: \(\sqrt{\frac{a}{1-a}}+\sqrt{\frac{b}{1-b}}+\sqrt{\frac{c}{1-c}}>2\)
Cho a, b, c dương thỏa a +b + c = 3. Cmr: \(\frac{1}{2+a^2b}+\frac{1}{2+b^2c}+\frac{1}{2+c^2a}\ge1\)
a)chứng minh rằng: \(a^2-ab+b^2\ge\frac{1}{3}\left(a^2+ab+b^2\right)\) với mọi giá trị của a,b
b) cho các số dương a,b,c >0 cmr \(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\ge\frac{a+b+c}{3}\)
Cho 3 số dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=1.CMR \(\frac{3}{ab+bc+ca}+\frac{2}{a^2+b^2+c^2}>14\)
