Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Ánh Dương Hoàng Vũ

Cho 3 số dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=1.CMR \(\frac{3}{ab+bc+ca}+\frac{2}{a^2+b^2+c^2}>14\)

Akai Haruma
14 tháng 5 2019 lúc 20:41

Lời giải:

Đặt:


\(A=\frac{3}{ab+bc+ac}+\frac{2}{a^2+b^2+c^2}=\frac{3}{ab+bc+ac}+\frac{2}{(a+b+c)^2-2(ab+bc+ac)}=\frac{3}{ab+bc+ac}+\frac{2}{1-2(ab+bc+ac)}\)

Đặt \(ab+bc+ac=t\Rightarrow A=\frac{3}{t}+\frac{2}{1-2t}\)

Theo hệ quả quen thuộc của BĐT AM-GM:

\(1=(a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ac)\Rightarrow t=ab+bc+ac\leq \frac{1}{3}\)

Xét:

\(A-14=\frac{3}{t}+\frac{2}{1-2t}=\frac{3}{t}-9+\frac{2}{1-2t}-5\)

\(=\frac{3-9t}{t}+\frac{10t-3}{1-2t}>\frac{3-9t}{t}+\frac{9t-3}{1-2t}=3(1-3t)(\frac{1}{t}-\frac{1}{1-2t})=\frac{3(1-3t)^2}{t(1-2t)}>0\) với mọi \(t>0; t\leq \frac{1}{3}\)

Do đó: \(A>14\) (đpcm).


Các câu hỏi tương tự
Doãn Hoài Trang
Xem chi tiết
Angela jolie
Xem chi tiết
khoimzx
Xem chi tiết
Angela jolie
Xem chi tiết
bach nhac lam
Xem chi tiết
Angela jolie
Xem chi tiết
Đẹp Trai Không Bao Giờ S...
Xem chi tiết
Luân Đào
Xem chi tiết
Phác Chí Mẫn
Xem chi tiết