Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Phác Chí Mẫn

Cho a, b, c dương thỏa \(a+b+c\le3\). Tìm max \(A=\frac{bc}{\sqrt{a^2+3}}+\frac{ca}{\sqrt{b^2+3}}+\frac{ab}{\sqrt{c^2+3}}\)

Trần Thanh Phương
18 tháng 3 2020 lúc 9:53

Ta có: \(3\ge a+b+c\Leftrightarrow9\ge\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\Leftrightarrow3\ge ab+bc+ca\)

Khi đó:

\(A=\Sigma\left(\frac{bc}{\sqrt{a^2+3}}\right)\le\Sigma\left(\frac{bc}{\sqrt{a^2+ab+bc+ca}}\right)=\Sigma\left(\frac{bc}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(c+a\right)}}\right)=\Sigma\left(\sqrt{\frac{bc}{a+b}\cdot\frac{bc}{c+a}}\right)\)

\(\le\Sigma\left[\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{bc}{a+b}+\frac{bc}{c+a}\right)\right]=\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{bc}{a+b}+\frac{bc}{c+a}+\frac{ca}{b+a}+\frac{ca}{b+c}+\frac{ab}{b+c}+\frac{ab}{c+a}\right)\)

\(=\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{c\left(a+b\right)}{a+b}+\frac{b\left(c+a\right)}{c+a}+\frac{a\left(b+c\right)}{b+c}\right)=\frac{1}{2}\cdot\left(a+b+c\right)\le\frac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)

Khách vãng lai đã xóa

Các câu hỏi tương tự
Angela jolie
Xem chi tiết
Angela jolie
Xem chi tiết
Võ Hồng Phúc
Xem chi tiết
Vũ Cao cườngf ff
Xem chi tiết
bach nhac lam
Xem chi tiết
Agami Raito
Xem chi tiết
Doãn Hoài Trang
Xem chi tiết
Nguyễn Bùi Đại Hiệp
Xem chi tiết
Annie Scarlet
Xem chi tiết