Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Hara Nisagami

Cho ba số thực dương a,b,c

CMR : \(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+3\ge4\left(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\right)\)

@Nk>↑@
9 tháng 6 2020 lúc 12:13

Ta có: \(\frac{a}{b}+1=\frac{a+b}{b}\)

*Cần c/m \(\frac{a+b}{b}\ge\frac{4a}{a+b},\forall a>0;b>0\) (*)

Thật vậy: (*)\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\Leftrightarrow...\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng với mọi a,b là số dương)

Tương tự ta cũng có: \(\frac{b}{c}+1=\frac{b+c}{c}\ge\frac{4b}{b+c}\); \(\frac{c}{a}+1=\frac{c+a}{a}\ge\frac{4c}{c+a}\)

Cộng theo vế ta được:

\(\left(\frac{a}{b}+1\right)+\left(\frac{b}{c}+1\right)+\left(\frac{c}{a}+1\right)\ge\frac{4a}{a+b}+\frac{4b}{b+c}+\frac{4c}{c+a}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+3\ge4\left(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\right)\)


Các câu hỏi tương tự
Nguyễn Thị Thu Hằng
Xem chi tiết
jdgjgndrjj
Xem chi tiết
Huy Phan Đình
Xem chi tiết
Nguyễn Thanh Hiền
Xem chi tiết
nguyễn minh
Xem chi tiết
Hoàng Quốc Tuấn
Xem chi tiết
Lưu Hải Dương
Xem chi tiết
Lưu Hải Dương
Xem chi tiết
Phan Tiến Nhật
Xem chi tiết