Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Sakura

cho a,b,c là các số dương thỏa mãn : a+b+c=3

cmr : \(\frac{1}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}\ge\frac{3}{2}\)

Akai Haruma
1 tháng 10 2019 lúc 1:10

Sửa đề: CMR \(\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}\geq \frac{3}{2}\)

Đặt biểu thức đã cho là $P$

Áp dụng BĐT AM-GM:

\(P=a-\frac{ab^2}{1+b^2}+b-\frac{bc^2}{1+c^2}+c-\frac{ca^2}{1+a^2}=(a+b+c)-\left(\frac{ab^2}{1+b^2}+\frac{bc^2}{1+c^2}+\frac{ca^2}{1+a^2}\right)\)

\(\geq (a+b+c)-\left(\frac{ab^2}{2b}+\frac{bc^2}{2c}+\frac{ca^2}{2a}\right)=a+b+c-\frac{ab+bc+ac}{2}\)

Mà cũng theo BĐT AM-GM

\(3(a+b+c)=(a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ac)\)

\(\Rightarrow a+b+c\geq ab+bc+ac\)

Do đó: \(P\geq a+b+c-\frac{ab+bc+ac}{2}\geq a+b+c-\frac{a+b+c}{2}=\frac{a+b+c}{2}=\frac{3}{2}\)

Ta có đpcm.

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$


Các câu hỏi tương tự
Mai Thị Loan
Xem chi tiết
sjbjscb
Xem chi tiết
btde
Xem chi tiết
Phác Chí Mẫn
Xem chi tiết
fghj
Xem chi tiết
Nguyễn Thùy Chi
Xem chi tiết
Phác Chí Mẫn
Xem chi tiết
Nguyễn Mai Phương
Xem chi tiết
khoimzx
Xem chi tiết