Question

1/ Cho 2 số a,b thõa: a+b=2. CMR: a²+b² \(\ge\) 2

2/ Cho 3 số a,b,c thõa: ab+bc+ca= 12. Tìm GTLN của P= a²+b²+c²

3 Cho 2 số dương a,b thỏa a+b \(\le\)2. Tìm GTNN của P= \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\)

4/ Cho 3 số dương a,b,c thõa a+b+c =3 . CMR: A=\(\dfrac{1}{a^2+2bc}+\dfrac{1}{b^2+2ca}+\dfrac{1}{c^2+2ab}\ge1\)

Answer 1

Bài 4:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-shwarz dạng engel ta có:

\(\dfrac{1}{a^2+2bc}+\dfrac{1}{b^2+2ca}+\dfrac{1}{c^2+2ab}\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca}\)

\(=\dfrac{9}{\left(a+b+c\right)^2}=\dfrac{9}{9}=1\)

Dấu " = " xảy ra khi a = b = c = 1

\(\Rightarrowđpcm\)

Answer 2

Bài 1:
Ta có:
\(a^2+b^2-\frac{(a+b)^2}{2}=\frac{2(a^2+b^2)-(a+b)^2}{2}=\frac{(a-b)^2}{2}\geq 0\)

\(\Rightarrow a^2+b^2\geq \frac{(a+b)^2}{2}=\frac{2^2}{2}=2\)

(đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=1$

Answer 3

Bài 2:

\(P-(ab+bc+ac)=\frac{2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac}{2}\)

\(=\frac{(a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ca+a^2)}{2}=\frac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{2}\geq 0, \forall a,b,c\)

\(\Rightarrow P\geq ab+bc+ac\Leftrightarrow P\geq 12\)

Vậy GTNN của $P$ là $12$ khi $a=b=c=2$

Answer 4

Bài 3:

Áp dụng BĐT Cô-si:

\(\frac{1}{a}+a\geq 2; \frac{1}{b}+b\geq 2\)

\(\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+a+b\geq 4\)

\(\Leftrightarrow P\geq 4-(a+b)\)

Mà $a+b\leq 2$ nên $P\geq 4-(a+b)\geq 4-2=2$

Vậy GTNN của $P$ là $2$ khi $a=b=1$