a: Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao
nên \(\left\{{}\begin{matrix}AB^2=HB\cdot BC\\AC^2=CH\cdot BC\end{matrix}\right.\)
=>\(\dfrac{AB^2}{AC^2}=\dfrac{BH\cdot BC}{CH\cdot BC}=\dfrac{BH}{CH}\)
=>\(\dfrac{BH}{CH}=\left(\dfrac{AB}{AC}\right)^2\)
b; ΔABC vuông tại A có AH là đường cao
nên \(AB^2=BH\cdot BC\left(1\right)\)
ΔABF vuông tại A có AE là đường cao
nên \(BE\cdot BF=BA^2\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) suy ra \(BE\cdot BF=BH\cdot BC\)
c: ΔBAC vuông tại A có AI là đường trung tuyến
nên IA=IB
=>\(\widehat{IAB}=\widehat{IBA}\)
\(\widehat{EAB}+\widehat{EBA}=90^0\)
\(\widehat{HBA}+\widehat{HAB}=90^0\)
mà \(\widehat{EAB}=\widehat{HBA}\)
nên \(\widehat{EBA}=\widehat{HAB}\)
=>\(\widehat{DAB}=\widehat{DBA}\)
=>DA=DB
\(\widehat{DAB}+\widehat{DAF}=90^0\)
\(\widehat{DBA}+\widehat{DFA}=90^0\)
mà góc DAB=góc DBA
nên góc DAF=góc DFA
=>DA=DF
mà DB=DA
nên DB=DF
=>D là trung điểm của BF
