Question

Answer 1

a.

Theo giả thiết: \(MN\perp AB\Rightarrow CE\perp AB\Rightarrow\Delta ACE\) vuông tại E

AB là đường kính, K thuộc đường tròn \(\Rightarrow\widehat{AKB}\) là góc nt chắn nửa đường tròn

\(\Rightarrow\Delta AKC\) vuông tại K

\(\Rightarrow\) K và E cùng nhìn AC dưới 1 góc vuông nên tứ giác AKCE nội tiếp

b.

Trong tam giác IAB, C là giao điểm 2 đường cao BK và IE nên C là trực tâm

\(\Rightarrow AD\) là đường cao thứ 3 \(\Rightarrow AD\perp BD\Rightarrow D\) thuộc đường tròn (O)

Từ câu a, do tứ giác AKCE nội tiếp \(\Rightarrow\widehat{CAE}=\widehat{CKE}\) (cùng chắn CE)

Tứ giác AKDB nội tiếp (O) \(\Rightarrow\widehat{CAE}=\widehat{DKB}\) (cùng chắn DB)

\(\Rightarrow\widehat{CKE}=\widehat{DKB}\Rightarrow KC\) là phân giác \(\widehat{DKE}\)

Tương tự ta có \(EC\) là phân giác \(\widehat{KED}\)

\(\Rightarrow\) C là giao điểm 3 đường phân giác trong tam giác DEK

\(\Rightarrow C\) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEK 

Hay C cách đều 3 cạnh của tam giác DEK

Answer 2

Answer 3

4.

Do a;b;c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác, theo BĐT tam giác ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}c< a+b\\b< a+c\\a< b+c\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}c^2< c\left(a+b\right)\\b^2< b\left(a+c\right)\\a^2< a\left(b+c\right)\end{matrix}\right.\)

Cộng vế \(\Rightarrow a^2+b^2+c^2< 2ab+2bc+2ca\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2-2ab-2bc-2ca< 0\)

Xét pt: \(x^2+\left(a+b+c\right)x+ab+bc+ca=0\)

\(\Delta=\left(a+b+c\right)^2-4\left(ab+bc+ca\right)=a^2+b^2+c^2-2ab-2bc-2ca< 0\) theo cmt

\(\Rightarrow\) Pt đã cho vô nghiệm