a: \(n^3-n=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\)
Vì n-1;n;n+1 là ba số tự nhiên liên tiếp
nên \(n\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮3\)
b: \(n^5-n=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2+1\right)\)
Vì n;n-1;n+1 là ba số tự nhiên liên tiếp
nên \(n\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮3!=6\left(1\right)\)
Vì 5 là số nguyên tố nên \(n^5-n⋮5\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) suy ra \(n^5-n⋮30\)
\(\text{a)}n^3-n⋮3\)
\(n^3-n=n\left(n^2-1\right)=n\left(n+1\right)\left(n-1\right)\)
\(\text{Ta có:
}n\left(n+1\right)\left(n-1\right)\text{ là tích ba số nguyên liên tiếp}\)
\(\Rightarrow n\left(n+1\right)\left(n-1\right)⋮3\)
\(\Rightarrow n^3-n⋮3\)
\(\text{b)}n^5-n⋮30\)
\(\text{Ta có:}n^5-n=n\left(n^4-1\right)=n\left(n^4-n^2+n^2-1\right)\)
\(=n\left[\left(n^4-n^2\right)+\left(n^2-1\right)\right]\)
\(=n\left[n^2\left(n^2-1\right)+\left(n^2-1\right)\right]\)
\(=n\left(n^2-1\right)\left(n^2+1\right)\)
\(=n\left(n^2-n+n-1\right)\left(n^2+1\right)\)
\(=n\left[\left(n^2-n\right)+\left(n-1\right)\right]\left(n^2+1\right)\)
\(=n\left[n\left(n-1\right)+\left(n-1\right)\right]\left(n^2+1\right)\)
\(=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2+1\right)\)
\(\text{Vì }\left(n-1\right);n;\left(n+1\right)\text{ là 3 số tự nhiên liên tiếp nên }n^5-n⋮3\left(1\right)\)
\(\text{Mặt khác }n^5=n^{4+1}\text{ có chữ số tận cùng giống chữ số tận cùng của n}\)
\(\Rightarrow n^5-n\text{ có chữ số tận cùng bằng }0\)
\(\Rightarrow n^5-n⋮10\left(2\right)\)
\(\text{Từ }\left(1\right)\text{ và }\left(2\right)\Rightarrow n^5-n⋮3;10\left(3,10\right)=1\Rightarrow n^5-n⋮30\left(đpcm\right)\)
