Gọi I là giao điểm của AM và BC, J là giao điểm của AN và BD, K là giao điểm của AP và CD
Xét ΔABC có
M là trọng tâm
AM cắt BC tại I
Do đó: I là trung điểm của BC
XétΔABD có
N là trọng tâm
J là giao điểm của AN và BD
Do đó: J là trung điểm của BD
XétΔACD có
P là trọng tâm
AP cắt CD tại K
Do đó: K là trung điểm của CD
XétΔABC có
M là trọng tâm
AI là đường trung tuyến
Do đó; \(AM=\frac23AI\)
Xét ΔABD có
N là trọng tâm
AJ là đường trung tuyến
Do đó \(AN=\frac23AJ\)
Xét ΔACD có
P là trọng tâm
AK là đường trung tuyến
Do đó: \(AP=\frac23AK\)
\(\frac{V_{AMNP}}{V_{AIJK}}=\frac{AM}{AI}\cdot\frac{AN}{AJ}\cdot\frac{AP}{AK}=\frac{8}{27}\)
Xét ΔBDC có \(\frac{BJ}{BD}=\frac{BI}{BC}\)
nên JI//DC
=>\(\frac{JI}{DC}=\frac{BJ}{BD}=\frac12\)
Xét ΔCBD có \(\frac{DJ}{DB}=\frac{DK}{DC}\left(=\frac12\right)\)
nên JK//BC
=>\(\frac{JK}{BC}=\frac{DJ}{DB}=\frac12\)
Xét ΔCBD có
\(\frac{CI}{CB}=\frac{CK}{CD}\left(=\frac12\right)\)
nên ΔCIK~ΔCBD
=>\(\frac{IK}{BD}=\frac{CI}{CB}=\frac12\)
Xét ΔIJK và ΔDCB có
\(\frac{IJ}{DC}=\frac{JK}{CB}=\frac{IK}{DB}\left(=\frac12\right)\)
nên ΔIJK~ΔDCB
=>\(\frac{S_{IJK}}{S_{DCB}}=\left(\frac{JK}{CB}\right)^2=\frac14\)
=>\(\frac{V_{AIJK}}{V_{ABCD}}=\frac14\)
=>\(V_{AMNP}=\frac{8}{27}\cdot\frac14\cdot V_{ABCD}=\frac{2}{27}\cdot V_{ABCD}=\frac{2}{27}\cdot\frac{a^3\sqrt2}{12}=\frac{a^3\sqrt2}{162}\)
=>Chọn D
