a: Xét ΔCAB vuông tại A có AH là đường cao
nên \(CH\cdot CB=CA^2\left(1\right)\)
Xét ΔCAD vuông tại C có CH là đường cao
nên \(AH\cdot AD=AC^2\left(2\right)\)
Xét ΔACD vuông tại C và ΔBAC vuông tại A có
\(\hat{CAD}=\hat{ABC}\left(=90^0-\hat{HAB}\right)\)
Do đó: ΔACD~ΔBAC
=>\(\frac{AC}{BA}=\frac{CD}{AC}\)
=>\(AB\cdot CD=AC^2\left(3\right)\)
Từ (1),(2),(3) suy ra \(CH\cdot CB=AH\cdot AD=AB\cdot CD\)
b: ΔACD~ΔBAC
=>\(\frac{S_{ACD}}{S_{BAC}}=\left(\frac{AC}{BA}\right)^2\)
=>\(\frac{S_{BAC}}{S_{ACD}}=\left(\frac{AB}{AC}\right)^2=\tan^2ACB\)
=>\(S_{ABC}=S_{ACD}\cdot\tan^2ACB\)
c: Xét ΔBEH vuông tại E có \(cosB=\frac{BE}{BH}\)
Xét ΔBHA vuông tại H có cos B=\(\frac{BH}{BA}\)
Xét ΔBAC vuông tại A có \(cosB=\frac{BA}{BC}\)
Do đó: \(cos^3B=\frac{BE}{BH}\cdot\frac{BH}{BA}\cdot\frac{BA}{BC}=\frac{BE}{BC}\)
=>\(BE=BC\cdot cos^3B\)
