a: Xét ΔBAC có CF là phân giác
nên \(\frac{BF}{FA}=\frac{BC}{CA}\)
=>\(\frac{BF}{BC}=\frac{FA}{CA}\)
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:
\(\frac{BF}{BC}=\frac{FA}{CA}=\frac{BF+FA}{BC+CA}=\frac{BA}{AC+BC}\)
=>\(BF=\frac{BA\cdot BC}{CA+CB}\)
Xét ΔBAC có BE là phân giác
nên \(\frac{CE}{CB}=\frac{EA}{AB}\)
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:
\(\frac{CE}{CB}=\frac{EA}{AB}=\frac{CE+EA}{CB+AB}=\frac{CA}{BC+BA}\)
=>\(CE=\frac{CA\cdot CB}{BA+BC}\)
Xét ΔCBE có CD là phân giác
nên \(\frac{BD}{BC}=\frac{DE}{CE}\)
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:
\(\frac{BD}{BC}=\frac{DE}{CE}=\frac{BD+DE}{BC+CE}=\frac{BE}{BC+CE}\)
=>\(\frac{BD}{BE}=\frac{BC}{BC+CE}=BC:\left(BC+\frac{CA\cdot CB}{BA+BC}\right)=BC:\left\lbrack BC\left(1+\frac{CA}{BA+BC}\right)\right\rbrack\)
\(=BC:\left\lbrack BC\cdot\frac{BA+BC+CA}{BA+BC}\right\rbrack=\frac{BA+BC}{BA+BC+CA}\)
Xét ΔCBF có BD là phân giác
nên \(\frac{CD}{CB}=\frac{DF}{FB}\)
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:
\(\frac{CD}{CB}=\frac{DF}{FB}=\frac{CD+DF}{CB+FB}=\frac{CF}{CB+FB}\)
=>\(\frac{CD}{CF}=\frac{CB}{CB+FB}=\frac{CB}{CB+\frac{BA\cdot BC}{CA+CB}}=\frac{1}{1+\frac{BA}{CA+CB}}=1:\frac{CA+CB+BA}{CA+CB}=\frac{CA+CB}{CA+CB+BA}\)
\(BE\cdot CF=2\cdot BD\cdot CD\)
=>\(\frac{2\cdot BD}{BE}=\frac{CF}{CD}\)
=>\(\frac{2\left(BA+BC\right)}{BA+BC+CA}=\frac{CA+CB+BA}{CA+CB}\)
=>2(BA+BC)(CA+CB)=(CA+CB+BA)^2
=>\(2\left(AB\cdot AC+BA\cdot BC+CB\cdot CA+CB^2\right)=CB^2+BA^2+CA^2+2\cdot CB\cdot BA+2\cdot CB\cdot CA+2\cdot BA\cdot CA\)
=>\(2\cdot CB^2=CB^2+BA^2+AC^2\)
=>\(CB^2=AB^2+AC^2\)
=>ΔCBA vuông tại A
b: Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao
nên \(HA^2=HB\cdot HC\)
=>\(\frac{HA}{HB}=\frac{HC}{HA}\)
=>\(\frac{HA}{HB}=\frac43\)
=>\(HB=\frac34HA\)
\(\frac{HA}{HC}=\frac34\)
=>\(HC=\frac43HA\)
HB+HC=BC
=>\(\frac34HA+\frac43HA=20\)
=>\(HA\cdot\frac{25}{12}=20\)
=>\(HA=20:\frac{25}{12}=20\cdot\frac{12}{25}=\frac{240}{25}\) =9,6(cm)
=>\(HC=\frac43\cdot9,6=12,8\left(\operatorname{cm}\right);HB=\frac34\cdot9,6=7,2\left(\operatorname{cm}\right)\)
c: Xét ΔHAB vuông tại H có HM là đường cao
nên \(BM\cdot BA=BH^2\)
=>\(BM=\frac{BH^2}{BA}\)
Xét ΔHAC vuông tại H có HN là đường cao
nên \(CN\cdot CA=CH^2\)
=>\(CN=\frac{CH^2}{CA}\)
Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao
nên \(AB^2=BH\cdot BC;AC^2=CH\cdot CB;AH\cdot BC=AB\cdot AC\)
=>\(\frac{AB^2}{AC^2}=\frac{BH\cdot BC}{CH\cdot BC}=\frac{BH}{CH}\)
\(BM\cdot CN\cdot BC\)
\(=\frac{BH^2}{BA}\cdot\frac{CH^2}{CA}\cdot BC=\frac{\left(BH\cdot CH\right)^2}{AB\cdot AC}\cdot BC=\frac{AH^4}{AH\cdot BC}\cdot BC=AH^3\)
