Cho a,b >0

Tính giá trị lớn nhất của A= \(\frac{a+b}{\sqrt{a\left(4a+5b\right)+b\left(4b+5a\right)}}\)

CM BĐT :

2(x²+y²+z²)\(\ge\)( x+ y+z)²

CM bất đẳng thức :

a⁵+b⁵\(\ge\)(a³+b³).ab

Cho đường tròn tâm O bán kính R, lấy C thuộc đường tròn sao cho AC< BC. H là hình chiếu vuông góc của C trên AB. Tiếp tuyến tại C của đường tròn cắt BA tại E

a) CM : OH.OE= R²

b) CM: EA.HC=EC.HA

c) Gọi I là trung điểm của EH , IC cắt đường tròn tâm O tại điểm thứ 2 là K; kẻ đường kính CD của đường tròn. CMR: D, H, K thẳng hàng

Cho a, b , c là 3 số thực dương thỏa mãn abc=1. Tính GTLN của

P= \(\frac{ab}{a^5+b^5+ab}+\frac{bc}{b^5+c^5+bc}+\frac{ca}{c^5+a^5+ca}\)

Cho tam giác ABC vuông tại A ( AB<AC), AH\(\perp\)BC tại H. Trên HC lấy M, kẻ \(ME\perp AB\) tại E, MF\(\perp\)AC tại F.

a) CM: BE.AM= EH.BM

b) Gọi I là giao điểm của ME và AH. CM : \(tan\widehat{ABM}.tan\widehat{AMB=2}\) thì M là trung điểm của HC

c) Giả sử \(\widehat{MAC}=45^o\). CM : BE.HC= CF.HD

Cho x, y, z >0 thỏa mãn \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=2014\). Tìm GTLN của

P= \(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\)

Cho a, b \(\ge\)0. CMR: a³+b³\(\ge\)ab(a + b)

Áp dụng CM: \(\frac{1}{a^3+b^3+1}+\frac{1}{b^3+c^3+1}+\frac{1}{a^3+c^3+1}\le1\) với a, b, c > 0 thỏa mãn abc=1

Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao BE,CD cắt nhau tại H.CMR:

1) AH\(\perp\)BC tại I

2) AE.AB=AD.AC

3) ED= BC.cosA

4) BH.BD+ CH.CE= BC²

5) tanB.tanC= \(\frac{AI}{HI}\)

6) Gọi M là trung điểm của AH, N là trung điểm BC. CM: MN là đường trung trực của ED

7) ME\(\perp\)NE và EN² = NK.MN

8) AH²= 4MK.MN

9) S_ABC= \(\frac{1}{2}\)AB.AC.sinA

10) Đặt BC= a; AC= b; AB= c.CMR:\(\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}\)

11) a²=b²+c² = 2bc. cosA

Cho nửa đường tròn tâm O đường kính BC. Từ A trển nửa đường tròn tâm O vẽ AH \(\perp\)BC tại H. Trên nửa mặt phẳng bờ BC có chứa A vẽ hai nửa đường tròn tâm O đường kính BH và CH, chúng lần lượt cắt AB, AC tại E, F

a) CM: AE.AB=AF.AC

b) CM: EF vừa là tiếp tuyến của nửa đường tròn tâm O đường kính BH, vừa là tiếp tuyến của đường tròn tâm O đường kính CH

c) Gọi I,K lần lượt đối xứng với H qua AB và AC. CMR: 3 điểm I, A,K thẳng hàng

d) Đường thẳng IK cắt tiếp tuyến kẻ từ B của nửa đường tròn tâm O tại M. CMR: MC, AH, EF đồng quy