a) \(C=\left(2+2^2\right)+\left(2^3+2^4\right)+...+\left(2^{59}+2^{60}\right)\)

\(=2\left(1+2\right)+2^3\left(1+2\right)+...+2^{59}\left(1+2\right)\)

\(\Rightarrow C⋮3\) 

b) \(C=\left(2+2^2+2^3\right)+\left(2^4+2^5+2^6\right)+...+\left(2^{58}+2^{59}+2^{60}\right)\)

\(=2\left(1+2+4\right)+2^4\left(1+2+4\right)+...+2^{58}\left(1+2+4\right)\)

\(\Rightarrow C⋮7\)

c) \(C=\left(2+2^2+2^3+2^4\right)+\left(2^5+2^6+2^7+2^8\right)+...+\left(2^{57}+2^{58}+2^{59}+2^{60}\right)\)

\(=2\left(1+2+4+8\right)+2^5\left(1+2+4+8\right)+...+2^{57}\left(1+2+4+8\right)\)

\(\Rightarrow C⋮15\)

\(A=\left(5+5^2\right)+\left(5^3+5^4\right)+\left(5^5+5^6\right)+\left(5^7+5^8\right)\)

\(=1\left(5+25\right)+5^2\left(5+25\right)+5^4\left(5+25\right)+5^6\left(5+25\right)\)

\(=1.30+5^2.30+5^4.30+5^6.30\)

\(=30\left(1+5^2+5^4+5^6\right)⋮30\)  (đpcm)

a) \(4n-5⋮13\)

\(\Rightarrow4n-5+13⋮13\Rightarrow4n+8⋮13\Rightarrow4\left(n+2\right)⋮13\)

Vì (4;13) = 1 nên n+2 chia hết cho 13

=> n=13k-2 ( \(k\in N\)*)

b) \(5n+1⋮7\Rightarrow5n+1+14⋮7\Rightarrow5n+15⋮7\Rightarrow5\left(n+3\right)⋮7\)

Vì 5 không chia hết cho 7 nên để 5(n+3) chia hết cho 7 thì n+3 chia hết cho 7

=> n = 7k-3 ( \(k\in N\)*)

c) \(25n+3⋮53\Rightarrow25n+3-53⋮53\Rightarrow25n-50⋮53\Rightarrow25\left(n-2\right)⋮53\Rightarrow n-2⋮53\)

=> n = 53k+2 ( k thuộc N*)

In spite of being hungry, I ditn't eat anything

Số nguyên tố lớn hơn 3 là số lẻ nên a  có dạng a=3n+1 hoặc a=3n+2 ( \(n\in N\))

- Nếu a=3n+1 \(\Rightarrow\left(a-1\right)\left(a+4\right)=\left(3n\right)\left(3n+5\right)⋮3\)

- Nếu a=3n+2 \(\Rightarrow\left(a-1\right)\left(a+4\right)=\left(3n+1\right)\left(3n+6\right)⋮3\)

\(\Rightarrow\left(a-1\right)\left(a+4\right)⋮3\) với mọi số nguyên tố lớn hơn 3

Số nguyên tố > 3 là số lẻ nên có dạng 2k+1

=> a-1 chia hết cho 2

Mà (2;3)=1 => (a-1)(a+4) chia hết có 6 (2.3=6)(đpcm)

Ta có: \(\overline{abcdeg}=10000\overline{ab}+100\overline{cd}+\overline{eg}=9999\overline{ab}+99\overline{cd}+\left(\overline{ab}+\overline{cd}+\overline{eg}\right)⋮11\)

Độ dài cạnh AC là 24x2/3=16(cm)

Diện tích tam giác ABC là: 24 x 16 :2= 192(cm²)

                                                           đ/s: 192cm²

giả sử a\(\ge\)b

Khi đó \(\dfrac{a-b}{2}>0\)

Vì a<b+c với mọi c>0 nên \(c=\dfrac{a-b}{2}\)

Ta có: \(a\le b+\dfrac{a-b}{2}\) hay a<b ( mâu thuẫn )

=> giả sử a\(\ge\)b là sai 

Vậy \(a\le b\)

- Câu nghi vấn là:

  '' Những người muôn năm cũ

    Hồn ở đâu bây giờ?''

- Chức năng: Bộc lộ cảm xúc quan tâm, lo lắng, xót thương cho 1 lớp người đang tàn tạ ( ông đồ) -> đó chính là giá trị tinh thần của dân tộc

Đặt \(x=a+\sqrt{15};y=\dfrac{1}{a}-\sqrt{15}\left(x,y\in Z\right)\)

Ta có: \(y=\dfrac{1}{x-\sqrt{15}}-\sqrt{15}\Leftrightarrow xy-16=\left(y+x\right)\sqrt{15}\)

Nếu y=x thì VP là số vô tỉ còn VT là số nguyên ( vô lý)

=> x=y

=> xy-16=0 <=> x=y=\(\pm\)4 .

Thay vào tìm đc \(\left[{}\begin{matrix}a=4-\sqrt{15}\\a=-4-\sqrt{15}\end{matrix}\right.\)