Gọi điểm \(A\left(x_0,y_0\right)\) là điểm cố định mà đồ thị hàm số đi qua 

\(\Rightarrow y_0=\left(2m+2\right)x_0+m-1\Rightarrow2mx_0+2x_0+m-1-y_0=0\)

\(\Rightarrow m\left(2x_0+1\right)+2x_0-y_0-1=0\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x_0+1=0\\2x_0-y_0-1=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_0=-\dfrac{1}{2}\\y_0=-2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\) đồ thị hàm số luôn đi qua điểm \(A\left(-\dfrac{1}{2};-2\right)\)

Vì KB,KI là tiếp tuyến \(\Rightarrow KB=KI\)

Vì EI,EA là tiếp tuyến \(\Rightarrow EA=EI\)

\(\Rightarrow\) chu vi \(\Delta MEK=MK+ME+KE=MK+ME+KI+IE\)

\(=MK+ME+KB+EA=\left(MK+KB\right)+\left(ME+EA\right)=MA+MB\)

mà M,A,B cố định \(\Rightarrow\) đpcm

\(\left\{{}\begin{matrix}3\sqrt{x-1}-\dfrac{2}{y+2}=4\\2\sqrt{x-1}+\dfrac{1}{y+2}=5\end{matrix}\right.\left(x\ge1.y\ne-2\right)\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}3\sqrt{x-1}-\dfrac{2}{y+2}=4\left(1\right)\\4\sqrt{x-1}+\dfrac{2}{y+2}=10\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

Lấy \(\left(1\right)+\left(2\right)\Rightarrow7\sqrt{x-1}=14\Rightarrow\sqrt{x-1}=2\Rightarrow x=5\)

\(\Rightarrow\dfrac{2}{y+2}=3.2-4=2\Rightarrow y+2=1\Rightarrow y=-1\)

Gọi số sản phẩm mỗi tổ làm được là a và b( sản phẩm) \(\left(a,b>0\right)\)

Theo đề: \(\left\{{}\begin{matrix}a+b=800\\115\%a+120\%b=945\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}115\%a+115\%=920\left(1\right)\\115\%+120\%b=945\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

Lấy \(\left(2\right)-\left(1\right)\Rightarrow5\%b=25\Rightarrow b=500\Rightarrow a=800-500=300\)

\(\sqrt{13+4\sqrt{10}}=\sqrt{8+2.2\sqrt{2}.\sqrt{5}+5}=\sqrt{\left(2\sqrt{2}+\sqrt{5}\right)^2}=2\sqrt{2}+\sqrt{5}\)

câu hình: 

1) Vì DA,DC là tiếp tuyến \(\Rightarrow\Delta DAC\) cân tại D và DO là phân giác \(\angle ADC\)

\(\Rightarrow OD\bot BC\Rightarrow\angle CEO=90\) mà \(\angle CHO=90\Rightarrow OECH\) nội tiếp

2) Ta có: \(2\angle BCF+\angle CFB=\angle BCF+\left(\angle BCF+\angle CFB\right)\)

\(=\angle CAB+\angle ABC=90\)

3) Vì \(\Delta DAC\) cân tại A và \(OD\bot BC\Rightarrow\) E là trung điểm AC

Kéo dài BC cắt AD tại G

Ta có: \(\Delta ACG\) vuông tại C có \(DA=DC\Rightarrow D\) là trung điểm AG

Theo bổ đề hình thang (nói sang vậy thôi chứ nó là Thales bình thường,bạn tự chứng minh nha) \(\Rightarrow M\) là trung điểm CH 

Xét \(\Delta CAH\) có E là trung điểm AC,M là trung điểm CH

\(\Rightarrow ME\) là đường trung bình \(\Rightarrow ME\parallel AH\Rightarrow ME\parallel AB\)

gọi 2 số đó là a và b \(\left(a,b>0\right)\)

Theo đề: \(\left\{{}\begin{matrix}a+b=19\left(1\right)\\a^2+b^2=185\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

Từ (1) \(\Rightarrow\left(a+b\right)^2=19^2=361\left(3\right)\)

Lấy \(\left(3\right)-\left(2\right)\Rightarrow2ab=176\Rightarrow ab=88\left(4\right)\)

Từ (1) và (4) \(\Rightarrow a,b\) là nghiệm của pt \(x^2-19x+88=0\)

\(\Rightarrow\left(x-11\right)\left(x-8\right)=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}a=8\\b=11\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}a=11\\b=8\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

Vậy 2 số cần tìm là 8 và 11

\(\sqrt{2x+1}=2+\sqrt{x-3}\left(x\ge3\right)\)

\(\Rightarrow2x+1=4+x-3+4\sqrt{x-3}\Rightarrow x=4\sqrt{x-3}\)

\(\Rightarrow x^2=16\left(x-3\right)\Rightarrow x^2-16x+48=0\Rightarrow\left(x-12\right)\left(x-4\right)=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=12\\x=4\end{matrix}\right.\)

Ta có: \(\Delta AFH\) vuông tại F có I là trung điểm AH \(\Rightarrow IA=IH=IF\)

\(\Rightarrow\Delta IFA\) cân tại I \(\Rightarrow\angle IAF=\angle IFA\Rightarrow\angle FIH=2\angle FAH\)

Ta có: \(\angle BFC=\angle BEC=90\Rightarrow BCEF\) nội tiếp

Tương tự \(\Rightarrow HECD,AEHF\) nội tiếp

\(\Rightarrow\angle FEB=\angle FCB=\angle HCD=\angle HED\)

\(\Rightarrow\angle FED=2\angle FEH=2\angle FAH=\angle FID\)

\(\Rightarrow DEIF\) nội tiếp 

a) Ta có: \(\angle ABO+\angle ACO=90+90=180\Rightarrow ABOC\) nội tiếp

Vì AB,AC là tiếp tuyến \(\Rightarrow\Delta ABC\) cân tại A và AO là phân giác \(\angle BAC\)

\(\Rightarrow OA\bot BC\)

b) Điểm H chắc là giao điểm của OA với BC đúng ko,chứ đề bạn không cho điểm H

Vì \(\Delta ABC\) cân tại A có \(OA\bot BC\Rightarrow OA\) là trung trực BC

mà \(M\in OA\Rightarrow MB=MC\Rightarrow\Delta MBC\) cân tại M \(\Rightarrow\angle MBC=\angle MCB\)

Ta có: \(\angle ABM=\angle MCB=\angle MBC\Rightarrow\) MB là phân giác trong \(\angle ABH\)

\(\Rightarrow\dfrac{MH}{MA}=\dfrac{BH}{BA}\left(1\right)\)

Vì MN là đường kính \(\Rightarrow\angle MBN=90\)

Ta có: MB là phân giác trong \(\angle ABH\) mà \(MB\bot BN\)

\(\Rightarrow BN\) là phân giác ngoài \(\angle ABH\Rightarrow\dfrac{NH}{NA}=\dfrac{BH}{BA}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\dfrac{MH}{MA}=\dfrac{NH}{NA}\Rightarrow HM.AN=HN.AM\)