MN cắt OH tại A.

Vì MN là trung trực \(\Rightarrow MN\bot OH\) và A là trung điểm OH

mà \(PQ\bot OH\) \(\Rightarrow PQ\parallel MN\)

Xét \(\Delta OHQ\) có A là trung điểm OH và \(AN\parallel HQ\)

\(\Rightarrow N\) là trung điểm OQ

Tương tự \(\Rightarrow M\) là trung điểm OP

\(\Rightarrow MN\) là đường trung bình tam giác OPQ

\(\Rightarrow PQ=2MN\)

Vì MN là trung trực OH \(\Rightarrow MH=MO=OH\left(=R\right)\Rightarrow\Delta MOH\) đều

\(\Rightarrow MA=sinMHA.MH=sin60.R=\dfrac{\sqrt{3}}{2}R\Rightarrow MN=\sqrt{3}R\)

\(\Rightarrow PQ=2\sqrt{3}R\)

câu hình:

a) Vì AB là đường kính \(\Rightarrow\angle ACB=\angle AMB=90\)

Ta có: \(\angle KCB+\angle KHB=90+90=180\Rightarrow BHKC\) nội tiếp

\(\angle AME+\angle AIE=90+90=180\Rightarrow AMEI\) nội tiếp

b) Xét \(\Delta AEI\) và \(\Delta ABC:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle BACchung\\\angle AIE=\angle ACB=90\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta AEI\sim\Delta ABC\left(g-g\right)\Rightarrow\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AI}{AC}\Rightarrow AE.AC=AI.AB\)

Xét \(\Delta BEI\) và \(\Delta BAM:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle ABMchung\\\angle BIE=\angle BMA=90\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta BEI\sim\Delta BAM\left(g-g\right)\Rightarrow\dfrac{BE}{BA}=\dfrac{BI}{BM}\Rightarrow BE.BM=AB.BI\)

\(\Rightarrow AE.AC+BE.BM=AB.AI+AB.BI=AB\left(AI+BI\right)=AB^2\)

\(=4R^2=4.5^2=100\)

a) Vì ADME nội tiếp \(\Rightarrow\angle ADI=\angle IME\)

Xét \(\Delta IAD\) và \(\Delta IEM:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle AID=\angle EIM\\\angle ADI=\angle IME\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta IAD\sim\Delta IEM\left(g-g\right)\Rightarrow\dfrac{IA}{IE}=\dfrac{ID}{IM}\Rightarrow IA.IM=ID.IE\)

ABMC nội tiếp \(\Rightarrow\angle MCB=\angle MAB=\dfrac{1}{2}\angle BAC\)

Ta có: \(\angle MCI=\angle MCB+\angle ICB=\dfrac{1}{2}\angle BAC+\dfrac{1}{2}\angle ACB\)

\(=\angle IAC+\angle ICA=\angle MIC\)

\(\Rightarrow\Delta MIC\) cân tại M \(\Rightarrow MI=MC\)

b) Kẻ \(OF\bot MC\Rightarrow F\) là trung điểm MC (\(\Delta OMC\) cân tại O)

\(\Rightarrow OF\) là phân giác \(\angle MOC\)

\(\Rightarrow\angle MOF=\dfrac{1}{2}\angle MOC=\dfrac{1}{2}.2\angle MAC=\angle MAC\)

\(\Rightarrow sinMOF=sinMAC\)

Ta có: \(MC=2MF=2.\dfrac{MF}{MO}.MO=2.sinMOF.R=2RsinMAC\)

3b) \(\sqrt{25x-25}-\dfrac{15}{2}\sqrt{\dfrac{x-1}{9}}=6+\dfrac{3}{2}\sqrt{x-1}\left(x\ge1\right)\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{25\left(x-1\right)}-\dfrac{15}{2}\sqrt{\dfrac{1}{9}.\left(x-1\right)}-\dfrac{3}{2}\sqrt{x-1}=6\)

\(\Leftrightarrow5\sqrt{x-1}-\dfrac{15}{2}.\dfrac{1}{3}\sqrt{x-1}-\dfrac{3}{2}\sqrt{x-1}=6\)

\(\Leftrightarrow5\sqrt{x-1}-\dfrac{5}{2}\sqrt{x-1}-\dfrac{3}{2}\sqrt{x-1}=6\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x-1}=6\Rightarrow x-1=36\Rightarrow x=37\)

2) Trong (O) có AB là dây cung không đi qua có M là trung điểm AB

\(\Rightarrow OM\bot AB\) \(\Rightarrow OM\parallel DK\parallel CH\)

OM cắt CK tại E

Xét \(\Delta CDK\) có O là trung điểm CD,\(OE\parallel DK\)

\(\Rightarrow E\) là trung điểm CK

Xét \(\Delta KCH\) có E là trung điểm CK,\(EM\parallel CH\)

\(\Rightarrow M\) là trung điểm HK

b) đề phải là \(SA^2=SD.SE\) chứ SD không bằng SE sao \(SD^2=SD.SE\) được

Vì AE là đường kính \(\Rightarrow\angle ADE=90\) mà \(\angle SAE=90\)

\(\Rightarrow\Delta SAE\) vuông tại A có AD là đường cao

\(\Rightarrow SA^2=SD.SE\)

c) Trong (O) có DE là dây cung không đi qua O và I là trung điểm DE

\(\Rightarrow OI\bot DE\Rightarrow\angle OIS=90\Rightarrow\angle OIS=\angle OBS=90\)

\(\Rightarrow OIBS\) nội tiếp mà SAOB nội tiếp (câu a)

\(\Rightarrow O,I,A,S,B\) cùng thuộc 1 đường tròn

\(\Rightarrow AIBS\) nội tiếp \(\Rightarrow\angle AIS=\angle ABS=\angle SAB\) (\(\Delta SAB\) cân tại S)

Xét \(\Delta SAK\) và \(\Delta SIA:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle SIA=\angle SAK\\\angle ISAchung\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta SAK\sim\Delta SIA\left(g-g\right)\Rightarrow\dfrac{SA}{SI}=\dfrac{SK}{SA}\Rightarrow SA^2=SK.SI\)

mà \(SA^2=SD.SE\Rightarrow SD.SE=SK.SI\)

d) AB cắt OI tại F'

Vì AE là đường kính \(\Rightarrow\angle ABE=90\Rightarrow F'BE=90\)

\(\Rightarrow\angle F'BE=\angle F'IE\Rightarrow F'BIE\) nội tiếp \(\Rightarrow\angle ABI=\angle F'EI\)

mà \(\angle ABI=\angle ASI\) (AIBS nội tiếp) \(=\angle ASE\)

\(\Rightarrow\angle F'EI+\angle AES=\angle ASE+\angle AES=90\)

\(\Rightarrow\angle F'EO=90\Rightarrow EF'\) là tiếp tuyến \(\Rightarrow\) đpcm

b) Vì BMCD nội tiếp (chứng minh ở câu a) và \(MD\parallel BC\) (đề cho)

\(\Rightarrow BMDC\) là hình thang cân \(\Rightarrow BM=CD\)

c) Vì BHCD là hình bình hành có K là trung điểm BC 

\(\Rightarrow\) K là trung điểm HD 

Xét \(\Delta ADH\) có O là trung điểm AD (đường kính), K là trung điểm HD

\(\Rightarrow OK\) là đường trung bình \(\Rightarrow OK\parallel AH\) và \(OK=\dfrac{1}{2}AH\)

Vì \(OK\parallel AH\) \(\Rightarrow\dfrac{AH}{OK}=\dfrac{AG}{GK}=2\Rightarrow AG=2GK\Rightarrow\dfrac{AG}{AK}=\dfrac{2}{3}\)

\(\Rightarrow G\) là trọng tâm tam giác ABC

b) Vì AB là tiếp tuyến \(\Rightarrow\angle ABD=\angle AEB\) (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp chắn cung đó)

Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta AEB:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle ABD=\angle AEB\\\angle EABchung\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta ABD\sim\Delta AEB\left(g-g\right)\Rightarrow\dfrac{AB}{AE}=\dfrac{AD}{AB}\Rightarrow AB^2=AD.AE\)

mà \(AB^2=AH.AO\) (hệ thức lượng) \(\Rightarrow AD.AE=AH.AO\Rightarrow\dfrac{AD}{AO}=\dfrac{AH}{AE}\)

Xét \(\Delta AHD\) và \(\Delta AEO:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{AD}{AO}=\dfrac{AH}{AE}\\\angle EAOchung\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta AHD\sim\Delta AEO\left(c-g-c\right)\Rightarrow\angle AHD=\angle AEO\)

\(\Rightarrow DHOE\) nội tiếp \(\Rightarrow\angle OEH=\angle ODH\)

bạn tham khảo ở đây nha,bài này mình từng làm rồi

https://hoc24.vn/cau-hoi/881cho-tam-giac-abc-nhon-noi-tiep-duong-tron-o-cac-duong-cao-adbecf-cat-nhau-tai-ha-chung-minh-tu-giac-bcef-noi-tiep-va-xac-dinh-tam-i-cua-duong-tron-ngoai-tiep-tu-giacb-duong-thang-ef-cat-duon.1092906662181

a) Vì A và E đối xứng với nhau qua D \(\Rightarrow AD=ED\)

mà \(CD\bot AE\Rightarrow\Delta CAE\) cân tại C có \(CD=DE=DA\)

\(\Rightarrow\Delta CAE\) vuông cân tại C

b) Xét \(\Delta AHE:\) Ta có: N là trung điểm EH,M là trung điểm AH

\(\Rightarrow NM\) là đường trung bình \(\Rightarrow NM\parallel AE\) và \(NM=\dfrac{1}{2}AE\)

\(\Rightarrow NM=AD=CB\) mà \(NM\parallel AD\parallel CB\)

\(\Rightarrow AMND,BMNC\) là hình bình hành