1. Đối với ô tô (1):

\(v_{tb}=\dfrac{s}{t_1+t_2}=\dfrac{s}{\dfrac{s_1}{v_1}+\dfrac{s_2}{v_2}}\)

\(=\dfrac{s}{\dfrac{\dfrac{1}{2}s}{v_1}+\dfrac{\dfrac{1}{2}s}{v_2}}=\dfrac{1}{\dfrac{\dfrac{1}{2}}{v_1}+\dfrac{\dfrac{1}{2}}{v_2}}\)

Thay số: \(v_{tb}=30\left(km/h\right)\)

Đối với ô tô (2):

\(v_{tb}=\dfrac{s_1+s_2}{t}=\dfrac{v_1t_1+v_2t_2}{t}\)

\(=\dfrac{v_1\cdot\dfrac{1}{2}t+v_2\cdot\dfrac{1}{2}t}{t}=\dfrac{1}{2}v_1+\dfrac{1}{2}v_2\)

Thay số: \(v_{tb}=60\left(km/h\right)\).

2. Thời gian ô tô (1) đi: \(t_I=t_{I1}+t_{I2}=\dfrac{s_{I1}}{v_1}+\dfrac{s_{I2}}{v_2}\)

\(=\dfrac{\dfrac{1}{2}s}{v_1}+\dfrac{\dfrac{1}{2}s}{v_2}=\dfrac{\dfrac{1}{2}s}{20}+\dfrac{\dfrac{1}{2}s}{60}=\dfrac{1}{30}s\)

Xét ô tô (2):

\(t_{II-1}=\dfrac{1}{2}t_{II}\Leftrightarrow\dfrac{s_{II-1}}{v_1}=\dfrac{1}{2}t_{II}\Leftrightarrow s_{II-1}=\dfrac{1}{2}v_1t_{II}=10t_{II}\) (*).

Ta cũng có: \(t_{II-1}=t_{II-2}=\dfrac{1}{2}t_{II}\)

\(\Rightarrow\dfrac{s_{II-1}}{v_1}=\dfrac{s_{II-2}}{v_2}=\dfrac{s-s_{II-1}}{v_2}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{s_{II-1}}{20}=\dfrac{s-s_{II-1}}{60}\Leftrightarrow s_{II-1}=\dfrac{1}{4}s\).

Thay lại vào (*) \(\Rightarrow\dfrac{1}{4}s=10t_{II}\Leftrightarrow t_{II}=\dfrac{1}{40}s\)

Theo đề bài, ô tô (1) xuất phát trước ô tô (2) 30 phút và hai xe đến B cùng lúc nên:

\(t_I-t_{II}=\dfrac{30}{60}=\dfrac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{30}s-\dfrac{1}{40}s=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow s=60\left(km\right)\)

Một quả bóng rơi tự do từ độ cao h xuống một mặt phẳng nghiêng góc α so với mặt phẳng ngang. Sau khi va chạm tuyệt đối đàn hồi với mặt phẳng nghiêng, bóng tiếp tục nảy lên rồi lại và chạm vào mặt phẳng nghiêng và tiếp tục nảy lên, và cứ tiếp tục như thế. Giả sử mặt phẳng nghiêng đủ dài để quá trình va chạm của vật xảy ra liên tục. Khoảng cách giữa các điểm rơi liên tiếp kể từ lần thứ nhất đến lần thứ tư theo thứ tự lần lượt là l₁, l₂ và l₃. Tìm hệ thức liên hệ giữa l₁, l₂ và l₃.

\(\left(3x+2\right)^2+\left(3x-2\right)^2-2\left(9x^2-4\right)\)

\(=\left(3x+2\right)^2+\left(3x-2\right)^2-2\left(3x+2\right)\left(3x-2\right)\)

\(=\left[3x+2-\left(3x-2\right)\right]^2\)

\(=4^2=16\)

Gọi \(x\) là thời gian đi từ lúc xuất phát đến khi gặp nhau \(\left(x>0\right)\).

Quãng đường người thứ nhất đi được là \(20x\left(km\right)\).

Quãng đường người thứ hai đi được là \(12x\left(km\right)\).

Do hai người đi cùng chiều, lúc xuất phát cách nhau một đoạn \(AB=6\left(km\right)\) nên quãng đường người thứ nhất đi được bằng tổng của khoảng cách \(AB\) và quãng đường người thứ hai đi được, hay:

\(20x=6+12x\Leftrightarrow20x-12x=6\Leftrightarrow8x=6\Leftrightarrow x=0,75\left(h\right)=45\left(min\right)\)

Vậy: Hai người gặp nhau lúc \(7h+45min=7h45min\) tại điểm cách A một đoạn đúng bằng quãng đường của người thứ nhất đi được \(20x=20\cdot0,75=15\left(km\right)\).

Từ giả thiết, suy ra: \(\hat{M}=\dfrac{3}{2}\hat{P}\).

Ta có: \(\hat{D}+\hat{M}+\hat{P}=180^o\) (tổng 3 góc trong một tam giác)

\(\Leftrightarrow55^o+\dfrac{3}{2}\hat{P}+\hat{P}=180^o\Leftrightarrow\hat{P}=50^o\)

\(\Rightarrow\hat{M}=\dfrac{3}{2}\hat{P}=\dfrac{3}{2}\cdot50^o=75^o\)

Điều kiện: \(x\ge74\)

\(GT\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+15=m^2\left(m\in N\right)\\x-74=n^2\left(n\in N\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow m^2-15=n^2+74\)

\(\Leftrightarrow m^2-n^2=89\Leftrightarrow\left(m+n\right)\left(m-n\right)=89\)

Do \(m,n\in N\) và \(89=1\cdot89\) nên ta có:

Trường hợp 1: \(\left\{{}\begin{matrix}m+n=1\\m-n=89\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=45\\n=-44\end{matrix}\right.\) (loại).

Trường hợp 2: \(\left\{{}\begin{matrix}m+n=89\\m-n=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=45\\n=44\end{matrix}\right.\) (nhận).

\(\Rightarrow x=m^2-15=45^2-15=2010\left(TM\right)\)

Vậy: \(x=2010\).

(a) Ta có: \(\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2=x^2+\dfrac{1}{x^2}+2\)

\(\Rightarrow A=\sqrt{\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}\right)^2+2\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}+2\right)-3}:\left(x^2-x+1\right)\)

\(=\sqrt{\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}\right)^2+2\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}\right)+1}:\left(x^2-x+1\right)\)

\(=\sqrt{\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}+1\right)^2}:\left(x^2-x+1\right)\)

\(=\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}+1\right):\left(x^2-x+1\right)\)

\(=\dfrac{x^2+\dfrac{1}{x^2}+1}{x^2-x+1}=\dfrac{x^4+x^2+1}{x^4-x^3+x^2}\)

Vậy: \(A=\dfrac{x^4+x^2+1}{x^4-x^3+x^2}\)

(b) \(A=\dfrac{\left(x^4-x^3+x^2\right)+x^3+1}{x^4-x^3+x^2}\)

\(=1+\dfrac{x^3+1}{x^4-x^3+x^2}\)

\(=1+\dfrac{\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)}{x^2\left(x^2-x+1\right)}\)

\(\Rightarrow A=1+\dfrac{x+1}{x^2}=1+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}\)

\(\Rightarrow A=\left[\left(\dfrac{1}{x}\right)^2+2\cdot\dfrac{1}{x}\cdot\dfrac{1}{2}+\left(\dfrac{1}{2}\right)^2\right]-\left(\dfrac{1}{2}\right)^2+1\)

\(\Rightarrow A=\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\ge\dfrac{3}{4}\)

Vậy: \(MinA=\dfrac{3}{4}\Leftrightarrow x=-2\) (thỏa mãn).

Đặt: \(\left\{{}\begin{matrix}a=2x^2+x-2016\\b=x^2-3x-1000\end{matrix}\right.\). Phương trình trở thành:

\(a^2+4b^2=4ab\)

\(\Leftrightarrow a^2-4ab+4b^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-2b\right)^2=0\Leftrightarrow a=2b\)

\(\Rightarrow2x^2+x-2016=2\left(x^2-3x-1000\right)\)

\(\Leftrightarrow7x=16\Leftrightarrow x=\dfrac{16}{7}\)

Vậy: \(x=\dfrac{16}{7}\)

1. \(\hat{B}=90^o-\hat{C}=90^o-40^o=50^o\)

2. \(AB=ACtanC=12\cdot tan40^o\approx10\)

3. \(BC^2=AB^2+AC^2\left(Pythagoras\right)\)

\(\Leftrightarrow BC=\sqrt{AB^2+AC^2}\approx\sqrt{10^2+12^2}=2\sqrt{61}\)

\(\left(\sqrt{12}+\sqrt{27}-\sqrt{48}\right)\sqrt{3}\)

\(=\left(2\sqrt{3}+3\sqrt{3}-4\sqrt{3}\right)\sqrt{3}\)

\(=\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=3\)