Bài 1. (a) Điều kiện: \(x\ne\pm1\).

Ta có: \(A=\left(\dfrac{x-2}{x-1}-\dfrac{x+3}{x+1}+\dfrac{3}{x-1}\right):\left(1-\dfrac{x+3}{x+1}\right)\)

\(=\left(\dfrac{x-2+3}{x-1}-\dfrac{x+3}{x+1}\right):\dfrac{x+1-\left(x+3\right)}{x+1}\)

\(=\left(\dfrac{x+1}{x-1}-\dfrac{x+3}{x+1}\right):\dfrac{x+1-x-3}{x+1}\)

\(=\dfrac{\left(x+1\right)^2-\left(x+3\right)\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}:\dfrac{-2}{x+1}\)

\(=\dfrac{x^2+2x+1-x^2-2x+3}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}\cdot\dfrac{x+1}{-2}\)

\(=\dfrac{4}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}\cdot\dfrac{x+1}{-2}=\dfrac{2}{1-x}\)

Vậy: \(A=\dfrac{2}{1-x}\)

(b) \(A=3\Leftrightarrow\dfrac{2}{1-x}=3\)

\(\Rightarrow1-x=\dfrac{2}{3}\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{3}\left(TM\right)\)

Vậy: \(x=\dfrac{1}{3}\)

Bài 2. (a) Phương trình tương đương với:

\(\dfrac{3\left(3x-2\right)}{12}+\dfrac{6\left(x+3\right)}{12}=\dfrac{4\left(x-1\right)}{12}+\dfrac{x+1}{12}\)

\(\Rightarrow3\left(3x-2\right)+6\left(x+3\right)=4\left(x-1\right)+x+1\)

\(\Leftrightarrow9x-6+6x+18=4x-4+x+1\)

\(\Leftrightarrow10x=-15\Leftrightarrow x=-\dfrac{3}{2}\)

Vậy: Phương trình có tập nghiệm \(S=\left\{-\dfrac{3}{2}\right\}\).

(b) Điều kiện: \(x\ne\pm1\). Phương trình tương đương với:

\(\dfrac{2\left(x+1\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}+\dfrac{2\left(x-1\right)}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}=\dfrac{2x^2+2}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}\)

\(\Rightarrow2\left(x+1\right)+2\left(x-1\right)=2x^2+2\)

\(\Leftrightarrow2x+2+2x-2=2x^2+2\)

\(\Leftrightarrow2x^2-4x+2=0\Leftrightarrow2\left(x^2-2x+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow2\left(x-1\right)^2=0\Rightarrow x-1=0\Leftrightarrow x=1\left(KTM\right)\)

Vậy: Phương trình có tập nghiệm \(S=\varnothing\)

\(s_2-s_1=40\Leftrightarrow s-s_1-s_1=40\Leftrightarrow s-2s_1=40\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{2}gt^2-2\cdot\dfrac{1}{2}gt_1^2=40\)

Mà: \(t_1=\dfrac{1}{2}t\Rightarrow\dfrac{1}{2}gt^2-2\cdot\dfrac{1}{2}g\left(\dfrac{1}{2}t\right)^2=40\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{4}gt^2=40\Leftrightarrow t=\sqrt{\dfrac{40}{\dfrac{1}{4}g}}=\sqrt{\dfrac{40}{\dfrac{1}{4}\cdot10}}=4\left(s\right)\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}h=s=\dfrac{1}{2}gt^2=\dfrac{1}{2}\cdot10\cdot4^2=80\left(m\right)\\v=gt=10\cdot4=40\left(m/s\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy: h = 80 (m), t = 4 (s) và v = 40 (m/s).

\(AC=ABtanB=6\cdot\dfrac{5}{12}=2,5\left(cm\right)\)

\(BC^2=AB^2+AC^2\left(Pythagoras\right)\)

\(\Rightarrow BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{6^2+2,5^2}=6,5\left(cm\right)\)

(a) Thời gian xe khách đi từ lúc xuất phát đến khi gặp nhau: \(t_1=8h3min-6h=2h3min=2,05\left(h\right)\)

Thời gian xe khách đã đi (không kể thời gian nghỉ): \(T_1=t_1-t_n=2,05-\dfrac{15}{60}=1,8\left(h\right)\)

Vị trí gặp nhau cách Hà Nội một khoảng đúng bằng quãng đường xe khách đi được: \(s_1=v_1T_1=40\cdot1,8=72\left(km\right)\).

(b) Hai xe xuất phát cùng một nơi nên quãng đường hai xe đi được từ lúc xuất phát đến điểm gặp nhau là như nhau.

Thời gian xe con đi: \(t_2=8h3min-6h33min=1,5\left(h\right)\)

Ta có: \(s_1=s_2\Leftrightarrow72=v_2t_2=1,5v_2\Leftrightarrow v_2=48\left(km/h\right)\)

Số chỗ ngồi hội trường có tất cả là:

\(8\times10=80\) (chỗ ngồi).

Đáp số: 80 chỗ ngồi.

Bài 2.

(a) Nhân cả vế trái và vế phải cho \(cos^2\alpha\), ta được:

\(cos^2\alpha\left(1+\dfrac{sin^2\alpha}{cos^2\alpha}\right)=1\Leftrightarrow sin^2\alpha+cos^2\alpha=1\) (luôn đúng).

Vậy: Ta có điều phải chứng minh.

(b) Nhân cả vế trái và vế phải cho \(sin^2\alpha\), ta được:

\(sin^2\alpha\left(1+\dfrac{cos^2\alpha}{sin^2\alpha}\right)=1\Leftrightarrow sin^2\alpha+cos^2\alpha=1\) (luôn đúng).

Vậy: Ta có điều phải chứng minh.

Bài 3.

(a) \(1-\dfrac{sin70^o}{cos20^o}=1-\dfrac{sin70^o}{sin\left(90^o-20^o\right)}=1-1=0\)

(b) \(sin^250^o+sin^228^o+sin^240^o+sin^262^o\)

\(=cos^2\left(90^o-50^o\right)+cos^2\left(90^o-28^o\right)+sin^240^o+sin^262^o\)

\(=cos^240^o+cos^262^o+sin^240^o+sin^262^o\)

\(=\left(sin^240^o+cos^240^o\right)+\left(sin^262^o+cos^262^o\right)\)

\(=1+1=2\)

Xét trên tử số: \(M=cos^2\alpha+cot^2\alpha\)

Ta sẽ có: \(1+cot^2\alpha=\dfrac{1}{sin^2\alpha}\). Thật vậy, nhân cả 2 vế cho \(sin^2\alpha\) ta được:

\(sin^2\alpha\left(1+\dfrac{cos^2\alpha}{sin^2\alpha}\right)=1\)

\(\Leftrightarrow sin^2\alpha+cos^2\alpha=1\) (đúng).

Trở lại với hệ thức, ta sẽ có: 

\(1+cot^2\alpha=\dfrac{1}{sin^2\alpha}\Leftrightarrow cot^2\alpha=\dfrac{1}{sin^2\alpha}-1=\dfrac{1}{1-cos^2\alpha}-1\).Thay \(cos\alpha=\dfrac{2}{5}\Rightarrow cot^2\alpha=\dfrac{4}{21}\).

\(\Rightarrow M=\dfrac{184}{525}\).

Xét dưới mẫu số: \(N=tan\alpha-cot\alpha\)

\(=\dfrac{sin\alpha}{cos\alpha}-\dfrac{cos\alpha}{sin\alpha}\)

\(=\dfrac{sin^2\alpha-cos^2\alpha}{sin\alpha.cos\alpha}-\dfrac{1-2cos^2\alpha}{cos\alpha\sqrt{1-cos^2\alpha}}=\dfrac{17\sqrt{21}}{42}\)

\(\Rightarrow A=\dfrac{M}{N}\approx0,19\)

Chọn A.

(a) \(I,M\) là trung điểm của \(AB,BC\Rightarrow IM\) là đường trung bình của \(\Delta ABC\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}IM\left|\right|AC\Leftrightarrow MD\left|\right|AC\left(1\right)\\IM=\dfrac{1}{2}AC\end{matrix}\right.\)

Lại có: \(IM=ID\Rightarrow MD=2IM=2\cdot\dfrac{1}{2}AC=AC\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right),\left(2\right)\Rightarrow ADMC\) là hình bình hành (điều phải chứng minh).

(b) \(\left\{{}\begin{matrix}MI\left|\right|AC\left(cmt\right)\\AC\perp AB\left(gt\right)\end{matrix}\right.\Rightarrow MI\perp AB\Rightarrow\hat{AIM}=90^o\left(3\right)\).

\(M,K\) là trung điểm của \(BC,AC\Rightarrow MK\) là đường trung bình của \(\Delta ABC\Rightarrow MK\left|\right|AB\), mà \(AB\perp AC\left(gt\right)\Rightarrow MK\perp AC\Rightarrow\hat{AKM}=90^o\left(4\right)\).

Ta cũng có: \(\hat{A}=90^o\left(5\right)\).

Từ \(\left(3\right),\left(4\right),\left(5\right)\Rightarrow AIMK\) là hình chữ nhật (điều phải chứng minh).

(c) Do \(AIMK\) là hình chữ nhật (chứng minh trên) nên \(\left\{{}\begin{matrix}AK\left|\right|MI\Leftrightarrow AK\left|\right|ID\\AK=MI=ID\end{matrix}\right.\Rightarrow AKID\) là hình bình hành \(\Rightarrow IK\left|\right|AD\left(6\right)\).

Lại có: \(I,K\) là trung điểm của \(MD,MQ\Rightarrow IK\) là đường trung bình của \(\Delta MQD\Rightarrow IK\left|\right|QD\left(7\right)\)

Từ \(\left(6\right),\left(7\right)\Rightarrow Q,A,D\) thẳng hàng (điều phải chứng minh).