Một khúc sông thẳng có vận tốc của dòng nước tăng tỉ lệ thuận với khoảng cách từ bờ. Vận tốc của dòng nước sát bờ là \(0\), ở giữa sông là \(v_0\). Một thuyền chạy băng qua dòng sông với tốc độ \(u\) không đổi và luôn vuông góc với vận tốc chảy của dòng nước. Cho sông có bề rộng \(c\). Xác định quãng đường thuyền bị nước cuốn đi khi đang ngang qua sông.

1. Đồ thị của hàm số đi qua điểm \(M\left(2;3\right)\) nên giá trị hoành độ và tung độ của \(M\) là nghiệm của phương trình đường thẳng trên, tức:

\(3=m\cdot2+m-6\Leftrightarrow m=3\left(TM\right)\)

2. Đồ thị hàm số song song với đường thẳng \(\left(d\right):y=3x+2\), khi: \(\left\{{}\begin{matrix}m=3\\m-6\ne2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=3\\m\ne8\end{matrix}\right.\Rightarrow m=3\left(TM\right)\)

3. Gọi \(P\left(x_0;y_0\right)\) là điểm cố định mà đồ thị hàm số đi qua với mọi giá trị \(m\).

Khi đó: \(mx_0+m-6=y_0\Leftrightarrow\left(x_0+1\right)m-\left(y_0+6\right)=0\left(I\right)\)

Suy ra, phương trình \(\left(I\right)\) có vô số nghiệm, điều này xảy ra khi: \(\left\{{}\begin{matrix}x_0+1=0\\y_0+6=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_0=-1\\y_0=-6\end{matrix}\right.\).

Vậy: Điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn đi qua với mọi giá trị \(m\) là \(P\left(-1;-6\right)\).

Một con chó săn chạy đuổi theo một con thỏ. Con thỏ chạy với vận tốc \(\overrightarrow{v_t}\) không đổi. Con chó săn cũng chạy với vận tốc \(\overrightarrow{v_c}\) không đổi nhưng luôn hướng về phía thỏ. Cho ban đầu, chó và thỏ cách nhau một đoạn \(l\). Xác định gia tốc tức thời của chó ở vị trí ban đầu.

Chứng minh "Vector tổng hợp bằng tổng hình chiếu của hai vector thành phần" qua bài toán sau:

Cho hình bình hành \(ABCD\), đường chéo \(BD\). Gọi \(H,K\) lần lượt là hình chiếu của \(A,C\) lên \(BD\).

Chứng minh rằng: \(\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{DH}+\overrightarrow{DF}\).

Phương trình tương đương: \(5a-2a\sqrt{5}+b\sqrt{5}-2b=1\)

\(\Rightarrow\sqrt{5}\left(b-2a\right)+\left(5a-2b-1\right)=0\).

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b-2a=0\\5a-2b-1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=2\end{matrix}\right.\) (thỏa mãn).

Vậy: \(\left(a;b\right)=\left(1;2\right)\)

(a) Phương trình đường thẳng \(\left(d\right)\) có dạng tổng quát: \(y=ax+b\).

Do \(\left(d\right)\) đi qua \(A,B\) nên giá trị hoành độ và tung độ của \(A,B\) là các cặp nghiệm của phương trình đường thẳng.

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}-3=a+b\\1=2a+b\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=4\\b=-7\end{matrix}\right.\).

Vậy: Phương trình đường thẳng \(\left(d\right):y=4x-7\).

(b)  Mình không hiểu rõ đề phần "có (1, 2)" ạ:D.

\(P=\dfrac{x+1}{x^2}\left(x\ne0\right)\)

\(=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}\)

\(=\left[\left(\dfrac{1}{x}\right)^2+2\cdot\dfrac{1}{x}\cdot\dfrac{1}{2}+\left(\dfrac{1}{2}\right)^2\right]-\left(\dfrac{1}{2}\right)^2\)

\(=\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{1}{4}\ge-\dfrac{1}{4}\)

Vậy: \(P_{Min}=-\dfrac{1}{4}\Leftrightarrow x=-2\)

Bài 41. Một máy bay có vận tốc đều trong không khí yên tĩnh là \(v\). Máy bay này bay theo chu vi của một hình vuông cạnh \(a\). Cho vận tốc gió thổi là u không đổi \(\left(u< v\right)\). Lập biểu thức thời gian máy bay này bay hết một vòng của hình vuông trên nếu gió thổi theo đường chéo hình vuông.

Giải chi tiết giúp em với ạ, em cảm ơn.

Giả sử hiệu điện thế ban đầu là \(U\), hai đầu biến trở lần lượt từ trái sang phải là \(M,N.\)

Cấu trúc mạch: \(\left(R\left|\right|R_{MC}\right)\text{ nt }R_{CN}\).

Đặt: \(R_{MC}=x\left(0\le x\le R\right)\).

Với hiệu điện thế \(U\): \(R_{MC}=R_{CN}=\dfrac{1}{2}R\left(x=\dfrac{1}{2}\right)\).

Cường độ dòng điện qua mạch chính: 

\(I=\dfrac{U}{\dfrac{RR_{MC}}{R+R_{MC}}+R_{CN}}=\dfrac{U}{\dfrac{R\cdot\dfrac{1}{2}R}{R+\dfrac{1}{2}R}+\dfrac{1}{2}R}=\dfrac{6U}{5R}\)

Hiệu điện thế hai đầu điện trở R:

\(U_R=I\cdot\dfrac{RR_{MC}}{R+R_{CN}}=\dfrac{6U}{5R}\cdot\dfrac{R\cdot\dfrac{1}{2}R}{R+\dfrac{1}{2}R}=\dfrac{2}{5}U\)

Với hiệu điện thế \(2U\): \(R_{CN}=R-x\).

Điện trở tương đương của đoạn mạch:

\(R_{tđ}=\dfrac{RR_{MC}}{R+R_{MC}}+R_{CN}=\dfrac{Rx}{R+x}+R-x=\dfrac{R^2+Rx-x^2}{R+x}\)

Cường độ dòng điện qua mạch chính:

\(I=\dfrac{2U}{R_{tđ}}=\dfrac{2U}{\dfrac{R^2+Rx-x^2}{R+x}}=\dfrac{2U\left(R+x\right)}{R^2+Rx-x^2}\)

Hiệu điện thế hai đầu điện trở R lúc này:

\(U_R'=I\cdot\dfrac{RR_{MC}}{R+R_{MC}}=\dfrac{2U\left(R+x\right)}{R^2+Rx-x^2}\cdot\dfrac{Rx}{R+x}=\dfrac{2URx}{R^2+Rx-x^2}\)

Theo đề: \(U_R=U_R'\Leftrightarrow\dfrac{2}{5}U=\dfrac{2URx}{R^2+Rx-x^2}\)

\(\Leftrightarrow R^2+Rx-x^2=5Rx\)

\(\Leftrightarrow R^2-4Rx-x^2=0\)

Giải phương trình trên với ẩn x:

\(\Delta'=\left(-2R\right)^2-\left(-1\right)R^2=5R^2\Leftrightarrow\sqrt{\Delta}=R\sqrt{5}\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{-\left(-2R\right)+R\sqrt{5}}{-1}=-2-R\sqrt{5}\\x_2=\dfrac{-\left(-2R\right)-R\sqrt{5}}{-1}=-2+R\sqrt{5}\end{matrix}\right.\)

Với nghiệm x₁: \(0\le x_1\le R\)

\(\Leftrightarrow0\le-2-R\sqrt{5}\le R\Rightarrow R\in\varnothing\).

Do đó, loại nghiệm x₁.

Với nghiệm x₂: \(0\le x_2\le R\)

\(\Leftrightarrow0\le-2+R\sqrt{5}\le R\Rightarrow\dfrac{2\sqrt{5}}{5}\le R\le\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}\).

Do đó, nhận nghiệm x₂.

Ta có: \(\Delta x=\left|x-x_2\right|=\left|\dfrac{1}{2}-\left(-2+R\sqrt{5}\right)\right|=\left|\dfrac{5}{2}+R\sqrt{5}\right|=\dfrac{5}{2}+R\sqrt{5}\)

Vậy: Phải dịch chuyển con chạy C về phía M, tức theo hướng của điểm A một đoạn \(\Delta x=\dfrac{5}{2}+R\sqrt{5}\).