Sử dụng công thức khai triển nhị thức Newton:

\(\left(a+b\right)^n=\sum\limits^n_{k=0}C^n_k.a^{n-k}.b^k\)

\(\left(2x-1\right)^4\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=2x\\b=-1\\n=4\end{matrix}\right.\)

Số hạng chứa \(x^3\Rightarrow4-k=3\Rightarrow k=1\)

\(C^4_1.\left(2x\right)^{4-1}.\left(-1\right)^1=4.8x^3.\left(-1\right)=-32x^3\)

Vậy \(-32\) là hệ số cần tìm

Sử dụng công thức khai triển nhị thức Newton:

\(\left(a+b\right)^n=\sum\limits^n_{k=0}C^n_k.a^{n-k}.b^k\)

\(\left(3x-2\right)^4\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=3x\\b=-2\\n=4\end{matrix}\right.\)

Số hạng chứa \(x\Rightarrow4-k=1\Rightarrow k=3\)

\(C^4_1.\left(3x\right)^{4-3}.\left(-2\right)^3=\dfrac{4!}{3!.1!}.3x.\left(-8\right)=-4.3.8x=-96x\)

Vậy \(-96\) là hệ số thỏa đề bài

Sử dụng công thức khai triển nhị thức Newton:

\(\left(a+b\right)^n=\sum\limits^n_{k=0}C^n_k.a^{n-k}.b^k\)

\(\left(2+3x\right)^5\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=2\\b=3x\\n=5\end{matrix}\right.\)

Số hạng chứa \(x^4\Rightarrow k=4\)

\(\Rightarrow\) Số hạng chứa là \(C^5_4.2^{5-4}.\left(3x\right)^4=\dfrac{5!}{1!.4!}.2.81.x^4=5.2.81.x^4=810.x^4\)

Vậy số hạng chứa \(x^4\) là: \(810\)

a) \(x=1000\Rightarrow x+1=1001\) thay vào \(P\left(x\right)\) ta được

\(P\left(1000\right)=x^8-\left(x+1\right)x^7+\left(x+1\right)x^6-\left(x+1\right)x^5+...+\left(x+1\right)x^2-\left(x+1\right)x+250\)

\(\Rightarrow P\left(1000\right)=x^8-x^8-x^7+x^7+x^6-x^6-x^5+...+x^3+x^2-x^2-x+250\)

\(\Rightarrow P\left(1000\right)=-x+250=-1000+250=-750\)

b) \(\left(4-x^2\right)g\left(x-1\right)=\left(x+7\right)g\left(x+2\right)\left(1\right)\)

\(TH_1:x=2;\left(1\right)\Rightarrow0.g\left(1\right)=9.g\left(4\right)\Rightarrow g\left(4\right)=0\)

\(TH_2:x=-2;\left(1\right)\Rightarrow0.g\left(-3\right)=5.g\left(0\right)\Rightarrow g\left(0\right)=0\)

\(TH_3:x=-7;\left(1\right)\Rightarrow\left(4-49\right).g\left(-8\right)=0.g\left(-5\right)\Rightarrow g\left(-8\right)=0\)

Từ \(3\) trường hợp trên ta được \(g\left(x\right)\) có ít nhất \(3\) nghiệm là :

\(x=0;x=4;x=-8\)

\(\Rightarrowđpcm\)

\(5g25p=5+\dfrac{5}{12}=\dfrac{65}{12}\left(giờ\right)\)

Gọi \(v_A;v_B>0\left(km/h\right):\) lần lượt là vận tốc của xe đi từ \(A;B\)

Hai xe xuất phát cùng lúc và gặp nhau sau \(5\left(giờ\right)\) nên ta có :

\(5v_A+5v_B=200\Leftrightarrow v_A+v_B=40\left(1\right)\left(km\right)\)

Thời gian xe \(A\) thực tế đi là : \(\dfrac{65}{12}-\dfrac{40}{60}=\dfrac{19}{4}\left(giờ\right)\)

Thời gian xe \(B\) đi là \(\dfrac{65}{12}\left(giờ\right)\)

Theo đề bài ta có phương trình :

\(\dfrac{19}{4}v_A+\dfrac{65}{12}v_B=200\Leftrightarrow57v_A+65v_B=2400\left(2\right)\)

\(\left(1\right)\Rightarrow v_B=40-v_A\)

\(\left(2\right)\Rightarrow57v_A+65\left(40-v_A\right)=2400\)

\(\Leftrightarrow57v_A+2600-65v_A=2400\)

\(\Leftrightarrow8v_A=200\)

\(\Leftrightarrow v_A=25\left(km/h\right)\Rightarrow v_B=40-25=15\left(km/h\right)\)

Vậy vận tốc của xe đi từ \(A;B\) là \(25\left(km/h\right);15\left(km/h\right)\)

\(I\left(a;-a\right);\left(AB\right):2x+3y-6=0\)

\(d\left(I;AB\right)=\dfrac{\left|2.a+3.\left(-a\right)-6\right|}{\sqrt{13}}=\dfrac{\left|-a-6\right|}{\sqrt{13}}\) (Dấu cộng là dấu trừ)

\(...\left|-a-6\right|=1\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=-7\\a=-5\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow I\left(-7;7\right)\cup I\left(-5;5\right)\)

\(I=\left(-7;7\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}C\left(-14;12\right)\\D\left(-17;14\right)\end{matrix}\right.\)

\(I=\left(-5;5\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}C\left(-10;8\right)\\D\left(-13;10\right)\end{matrix}\right.\)

Đặt tọa độ  \(Oxy\) tại đỉnh Parabol; \(Ox\) hướng qua phải; \(Oy\) hướng lên trên

Trục \(Oy\) cắt \(AB;CD\) lần lượt tại \(E;F\)

Parabol có dạng \(\left(P\right):y=ax^2\)

Điểm \(\left(4;-8\right)\in\left(P\right)\Leftrightarrow-8=a.4^2\Leftrightarrow a=-\dfrac{1}{2}\)

\(\Rightarrow\left(P\right):y=-\dfrac{1}{2}x^2\)

Gọi \(x_1;x_2\) lần lượt là hoành độ của \(B;D\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}PT\left(AB\right):y=-\dfrac{1}{2}x_1^2\\PT\left(CD\right):y=-\dfrac{1}{2}x_2^2\end{matrix}\right.\)

\(S_{OEB}=\int\limits^{x_1}_0\left(-\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{1}{2}x_1\right)dx=\left[-\dfrac{1}{6}x^3+\dfrac{1}{2}x_1.x\right]^{x_1}_0=-\dfrac{1}{6}x_1^3+\dfrac{1}{2}x_1^3=\dfrac{2}{3}x_1^3\)

Tương tự \(S_{OFD}=\dfrac{2}{3}x_2^3\)

\(S_{EBDF}=S_{OFD}-S_{OEB}=\dfrac{2}{3}x_2^3-\dfrac{2}{3}x_1^3\)

Theo đề bài diện tích phần trên cùng bằng diện tích phần giữa

\(\Rightarrow S_{OEB}=S_{EBDF}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{2}{3}x_1^3=\dfrac{2}{3}x_2^3-\dfrac{2}{3}x_1^3\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{4}{3}x_1^3=\dfrac{2}{3}x_2^3\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x_2^3}{x_1^3}=2\Leftrightarrow\dfrac{x_2}{x_1}=\sqrt[3]{2}\)

Theo đồ thị ta có : \(AB=2x_1;CD=2x_2\)

\(\Rightarrow\dfrac{CD}{AB}=\dfrac{2x_2}{2x_1}=\dfrac{x_2}{x_1}=\sqrt[3]{2}\approx1,26\)

\(\int\limits^b_a\left|x\right|dx=\int\limits^0_a\left(-x\right)dx+\int\limits^b_0xdx\left(a< 0< b\right)\)

\(=\left[-\dfrac{x^2}{2}\right]^0_a+\left[\dfrac{x^2}{2}\right]^b_0=\dfrac{1}{2}a^2+\dfrac{1}{2}b^2=ma^2+nb^2\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=\dfrac{1}{2}\\n=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow m+n=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=1\)

\(A:\) là biến cố "lần thứ hai rút được thẻ ghi số nguyên tố"

Lần \(1\) rút có \(40\left(cách\right)\) rút thẻ

Lần \(2\) rút có \(39\left(cách\right)\) rút thẻ

\(\Rightarrow n\left(\Omega\right)=40.39=1560\left(phần.tử\right)\) không gian mẫu

Các số nguyên tố từ \(1\rightarrow40:2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37\) gồm \(12\) số

\(TH_1:\) lần \(1\&2\) đều rút thẻ có số nguyên tố

Lần \(1\) rút có \(12\left(cách\right)\) rút thẻ

Lần \(2\) rút có \(11\left(cách\right)\) rút thẻ

Số cách rút trong trường hợp này là: \(12.11=132\left(cách\right)\)

\(TH_2:\) Lần \(1\) rút được số không phải là số nguyên tố, lần \(2\) rút được số nguyên tố.

Lần \(1\) rút có \(40-12=28\left(cách\right)\) rút thẻ

Lần \(2\) có \(12\left(cách\right)\) rút thẻ (còn đủ \(12\) số nguyên tố)

Số cách rút trong trường hợp này là: \(28.12=336\left(cách\right)\)

\(n\left(A\right)=132+336=468\left(cách\right)\)

Xác suất \(P\left(A\right)=\dfrac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega\right)}=\dfrac{468}{1560}=\dfrac{3}{10}\)

a) \(P=\left(1-\dfrac{2\sqrt{x}}{3\sqrt{x}+1}+\dfrac{\sqrt{x}+1}{9x-1}\right):\left(\dfrac{9\sqrt{x}+6}{3\sqrt{x}+1}-3\right)\left(x\ge0;x\ne\dfrac{1}{9}\right)\)

\(\Leftrightarrow P=\left[\dfrac{9x-1-2\sqrt{x}\left(3\sqrt{x}-1\right)+\sqrt{x}+1}{9x-1}\right]:\left(\dfrac{9\sqrt{x}+6-9\sqrt{x}-3}{3\sqrt{x}+1}\right)\)

\(\Leftrightarrow P=\left[\dfrac{9x-1-6x+2\sqrt{x}+\sqrt{x}+1}{9x-1}\right]:\left(\dfrac{3}{3\sqrt{x}+1}\right)\)

\(\Leftrightarrow P=\left[\dfrac{3x+3\sqrt{x}}{9x-1}\right].\left(\dfrac{3\sqrt{x}+1}{3}\right)\)

\(\Leftrightarrow P=\left[\dfrac{3\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}{3\sqrt{x}-1}\right].\dfrac{1}{3}=\dfrac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}{3\sqrt{x}-1}\)

b) \(P=m\Leftrightarrow\dfrac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}{3\sqrt{x}-1}=m\)

\(\Leftrightarrow x+\sqrt{x}=3m\sqrt{x}-m\)

\(\Leftrightarrow x+\left(1-3m\right)\sqrt{x}+m=0\left(1\right)\)

\(\Leftrightarrow t^2+\left(1-3m\right)t+m=0\left(2\right)\left(t=\sqrt{x}\ge0\right)\)

\(\Delta=\left(1-3m\right)^2-4m=9m^2-10m+1=9\left(m-1\right)\left(m-\dfrac{1}{9}\right)\)

Theo đề bài ta có : \(m>1\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m-1>0\\m-\dfrac{1}{9}>\dfrac{8}{9}>0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta=9\left(m-1\right)\left(m-\dfrac{1}{9}\right)>0;\forall m>1\)

mà \(\left\{{}\begin{matrix}S=3m-1>2>0\\P=m>1>0\end{matrix}\right.\) \(\left(\forall m>1\right)\)

\(\Rightarrow\left(2\right)\) luôn có \(2\) nghiệm phân biệt \(t_1>t_2>0\)

\(\Rightarrow\left(1\right)\) luôn có \(2\) nghiệm phân biệt \(x_1>x_2>0\)

\(\Rightarrow\) Luôn có \(2\) giá trị \(x\) thỏa mãn \(P=m\left(đpcm\right)\)