a: Xét tứ giác MDHE có \(\hat{MDH}=\hat{MEH}=\hat{DME}=90^0\)

nên MDHE là hình chữ nhật

b: Gọi O là giao điểm của MH và DE

MDHE là hình chữ nhật

=>MH=DE
MDHE là hình chữ nhật

=>MH cắt DE tại trung điểm của mỗi đường

=>O là trung điểm chung của MH và DE

Ta có: \(OD=OE=\frac{DE}{2}\)

\(OM=OH=\frac{MH}{2}\)

mà MH=DE

nên OD=OE=OM=OH

ΔPEH vuông tại E

mà EA là đường trung tuyến

nên AE=AH

Xét ΔAEO và ΔAHO có

AE=AH

EO=HO

AO chung

Do đó: ΔAEO=ΔAHO

=>\(\hat{AEO}=\hat{AHO}=90^0\)

=>DE⊥ EA tại E

=>ΔDEA vuông tại E

a: Ta có: BH⊥AC

CK⊥AC

Do đó:BH//CK

Ta có: CH⊥AB

BK⊥BA

Do đó: CH//BK

xét tứ giác BHCK có

BH//CK

BK//CH

Do đó: BHCK là hình bình hành

b: Xét tứ giác ABKC có \(\hat{ABK}+\hat{ACK}=90^0+90^0=180^0\)

nên ABKC là tứ giác nội tiếp

=>\(\hat{KAC}=\hat{KBC}\)

Xét tứ giác BFEC có \(\hat{BFC}=\hat{BEC}=90^0\)

nên BFEC là tứ giác nội tiếp

=>\(\hat{FEC}+\hat{FBC}=180^0\)

mà \(\hat{FEC}+\hat{AEF}=180^0\) (hai góc kề bù)

nên \(\hat{AEF}=\hat{ABC}\)

\(\hat{AEF}+\hat{EAK}\)

\(=\hat{ABC}+\hat{KBC}=\hat{ABK}=90^0\)

=>AK⊥ EF

Bài 4:

a: Thay x=2 và y=0 vào (d), ta được:

2(m-3)+1-m=0

=>2m-6+1-m=0

=>m-5=0

=>m=5

b: Thay x=0 và y=-3 vào (d), ta được:

0(m-3)+1-m=-3

=>1-m=-3

=>m-1=3

=>m=3+1=4

c: Thay x=-1 và y=4 vào (d), ta được:

-1(m-3)+1-m=4

=>-m+3+1-m=4

=>4=4(luôn đúng)

=>m∈R

Bài 2:

a: Để hàm số \(y=\left(k^2-5k-6\right)x-13\) đồng biến thì \(k^2-5k-6>0\)

=>(K-6)(k+1)>0

=>k>6 hoặc k<-1

b: Để hàm số \(y=\left(2k^2+3k-2\right)x+3\) nghịch biến thì \(2k^2+3k-2\) <0

=>\(2k^2+4k-k-2<0\)

=>(k+2)(2k-1)<0

=>-2<k<1/2

a: Bảng giá trị:

Vẽ đồ thị:

b:

Sửa đề: A,B lần lượt là giao điểm của d2 với d và d2 với d1

Tọa độ giao điểm của d và d1 là:

\(\begin{cases}3x=-\frac13x\\ y=3x\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}\frac{10}{3}x=0\\ y=3x\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x=0\\ y=0\end{cases}\)

=>O(0;0) là giao điểm của (d) và (d1)

Tọa độ A là:

\(\begin{cases}3x=-x+4\\ y=3x\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}4x=4\\ y=3x\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x=1\\ y=3\cdot1=3\end{cases}\)

=>A(1;3)

Tọa độ B là:

\(\begin{cases}-\frac13x=-x+4\\ y=-x+4\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}\frac23x=4\\ y=-x+4\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x=4:\frac23=6\\ y=-6+4=-2\end{cases}\)

=>B(6;-2)

c: Vì 3*(-1/3)=-1

nên (d)⊥(d1)

=>ΔOAB vuông tại O

d: O(0;0); A(1;3); B(6;-2)

\(OA=\sqrt{\left(1-0\right)^2+\left(3-0\right)^2}=\sqrt{10}\)

\(OB=\sqrt{\left(6-0\right)^2+\left(-2-0\right)^2}=\sqrt{6^2+2^2}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}\)

Xét ΔOAB vuông tại O có tan OAB=\(\frac{OB}{OA}=2\)

nên \(\hat{OAB}\) ≃63 độ 26p

ΔOAB vuông tại O

=>\(\hat{OAB}+\hat{OBA}=90^0\)

=>\(\hat{OBA}=90^0-63^026p=26^034p\)

\(\left(\frac{\sqrt6-\sqrt{10}}{\sqrt5-\sqrt3}+3\right)\left(3+\frac{2\sqrt5+\sqrt6}{\sqrt{10}+\sqrt3}\right)\)

\(=\left(3-\frac{\sqrt2\left(\sqrt5-\sqrt3\right)}{\sqrt5-\sqrt3}\right)\left(3+\frac{\sqrt2\left(\sqrt{10}+\sqrt3\right)}{\sqrt{10}+\sqrt3}\right)\)

\(=\left(3-\sqrt2\right)\left(3+\sqrt2\right)\)

=9-2

=7

Gọi số máy của đội I, đội II, đội III lần lượt là a(máy), b(máy), c(máy)

(Điều kiện: a,b,c∈N*)

Đội I, đội II, đội III lần lượt hoàn thành công việc trong 5 ngày; 6 ngày; 10 ngày

=>5a=6b=10c

=>\(\frac{5a}{30}=\frac{6b}{30}=\frac{10c}{30}\)

=>\(\frac{a}{6}=\frac{b}{5}=\frac{c}{3}\)

Ba đội có tất cả là 28 máy

=>a+b+c=28

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\frac{a}{6}=\frac{b}{5}=\frac{c}{3}=\frac{a+b+c}{6+5+3}=\frac{28}{14}=2\)

=>\(\begin{cases}a=2\cdot6=12\\ b=2\cdot5=10\\ c=2\cdot3=6\end{cases}\) (nhận)

Vậy: số máy của đội I, đội II, đội III lần lượt là 12(máy), 10(máy), 6(máy)

a: MD⊥AB

AC⊥ AB

Do đó: MD//AC

ME⊥AC

AB⊥ AC

Do đó: ME//AB

Xét ΔABC có

M là trung điểm của BC

MD//AC

Do đó: D là trung điểm của AB

Xét ΔABC có

M là trung điểm của BC

ME//AB

Do đó: E là trung điêm của AC

Xét tứ giác ADME có \(\hat{ADM}=\hat{AEM}=\hat{DAE}=90^0\)

nên ADME là hình chữ nhật

b: Xét tứ giác AMBN có

D là trung điểm chung của AB và MN

=>AMBN là hình bình hành

Hình bình hành AMBN có AB⊥MN

nên AMBN là hình thoi

c: ADME là hình chữ nhật

=>AM cắt DE tại trung điểm của mỗi đường

=>I là trung điểm chung của AM và DE

Ta có: ADME là hình chữ nhật

=>AE=MD

mà AE=EC và MD=DN

nen EC=DN

Xét tứ giác DNEC có

DN//EC

DN=EC

Do đó: DNEC là hình bình hành

=>DE cắt NC tại trung điểm của mỗi đường

mà I là trung điểm của DE

nên I là trung điểm của NC

ΔCKN vuông tại K

mà KI là đường trung tuyến

nên KI=IC=IN

Xét ΔINK có IN=IK

nên ΔINK cân tại I

a: Xét ΔMAB và ΔMDC có

MA=MD

\(\hat{AMB}=\hat{DMC}\) (hai góc đối đỉnh)

MB=MC

Do đó: ΔMAB=ΔMDC

b: ΔMAB=ΔMDC
=>\(\hat{MAB}=\hat{MDC}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong

nên AB//DC

c: Xét ΔMEB vuông tại E và ΔMFC vuông tại F có

MB=MC

\(\hat{BME}=\hat{CMF}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔMEB=ΔMFC

=>ME=MF

=>M là trung điểm của EF

a: Sửa đề: A,D,H,E

Ta có: \(\hat{ADH}=\hat{AEH}=90^0\)

=>A,D,H,E cùng thuộc đường tròn đường kính AH

Tâm O là trung điểm của AH

b: Xét ΔABC có

BD,CE là các đường cao

BD cắt CE tại H

Do đó: H là trực tâm của ΔABC

=>AH⊥BC tại M

ΔABC cân tại A

mà AM là đường cao

nên M là trung điểm của BC

ΔBDC vuông tại D

mà DM là đường trung tuyến

nên MB=MD

=>ΔMBD cân tại M

=>\(\hat{MDB}=\hat{MBD}\)

OH=OD

=>ΔOHD cân tại O

=>\(\hat{ODH}=\hat{OHD}=\hat{BHM}\)

\(\hat{MDO}=\hat{MDB}+\hat{ODB}\)

\(=\hat{MHB}+\hat{MBH}=90^0\)

=>MD là tiếp tuyến tại D của (O)

a: Xét ΔBOC có BC=BO=CO

nên ΔBOC đều

=>\(\hat{BOC}=60^0\)

Xét (O) có \(\hat{BAC}\) là góc nội tiếp chắn cung BC

=>\(\hat{BAC}=\frac12\cdot\hat{BOC}=30^0\)

Xét (O) có

ΔBCA nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔBCA vuông tại C

=>BC⊥AD tại C

Xét ΔABD vuông tại B có BC là đường cao

nên \(BC^2=CA\cdot CD\)

b: R=4cm

=>AB=2*4=8(cm)

Xét ΔBAD vuông tại B có tan BAD=\(\frac{BD}{BA}\)

=>\(\frac{BD}{8}=\tan30=\frac{\sqrt3}{3}\)

=>\(BD=\frac{8\sqrt3}{3}\) (cm)