a: \(P=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}+\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}-\frac{3\sqrt{x}+1}{x-1}\)

\(=\frac{\left(\sqrt{x}+1\right)^2+\left(\sqrt{x}-1\right)^2-3\sqrt{x}-1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)

\(=\frac{x+2\sqrt{x}+1+x-2\sqrt{x}+1-3\sqrt{x}-1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}=\frac{2x-3\sqrt{x}+1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)

\(=\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(2\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}=\frac{2\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}\)

b: Thay x=16 vào P, ta được:

\(P=\frac{2\cdot4-1}{4+1}=\frac{8-1}{5}=\frac75\)

c: \(P=\frac12\)

=>\(\frac{2\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}=\frac12\)

=>\(4\sqrt{x}-2=\sqrt{x}+1\)

=>\(3\sqrt{x}=3\)

=>\(\sqrt{x}=1\)

=>x=1(loại)

d: P<1

=>P-1<0

=>\(\frac{2\sqrt{x}-1-\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}<0\)

=>\(\sqrt{x}-2<0\)

=>\(\sqrt{x}<2\)

=>0<=x<4

kết hợp ĐKXĐ, ta được: 0<=x<4 và x<>1

e: Để P là số nguyên thì \(2\sqrt{x}-1\) ⋮\(\sqrt{x}+1\)

=>\(2\sqrt{x}+2-3\) ⋮\(\sqrt{x}+1\)

=>-3⋮\(\sqrt{x}+1\)

=>\(\sqrt{x}+1\in\left\lbrace1;3\right\rbrace\)

=>\(\sqrt{x}\in\left\lbrace0;2\right\rbrace\)

=>x∈{0;4}

Kẻ BK⊥CD tại K

Xét ΔAHD vuông tại H và ΔBKC vuông tại K có

AD=BC

\(\hat{ADH}=\hat{BCK}\)

Do đó: ΔAHD=ΔBKC

=>DH=CK và AH=BK

Xét tứ giác ABKH có

AB//KH

AH//BK

Do đó: ABKH là hình bình hành

=>AB=KH

\(CD+AB=AB+HK+HD+KC\)

=2HK+2KC=2(HK+KC)=2CH

=>\(CH=\frac{AB+CD}{2}\)

a: Xét tứ giác DAOC có \(\hat{DAO}+\hat{DCO}=90^0+90^0=180^0\)

nên DAOC là tứ giác nội tiếp

Ta có: AH⊥DE

OC⊥DE

Do đó: OC//AH

Xét ΔAHE có OC//AH

nên \(\frac{CE}{CH}=\frac{OE}{OA}=\frac{OE}{R}\)

Xét ΔECO vuông tại C và ΔEAD vuông tại A có

\(\hat{CEO}\) chung

Do đó: ΔECO~ΔEAD

=>\(\frac{EO}{ED}=\frac{EC}{EA}=\frac{CO}{AD}\)

=>\(\frac{OE}{OC}=\frac{ED}{AD}\)

=>\(\frac{ED}{AD}=\frac{OE}{R}\)

=>\(\frac{CE}{CH}=\frac{ED}{AD}\)

=>\(CE\cdot AD=CH\cdot ED\)

b: Xét (O) có

DA,DC là các tiếp tuyến

Do đó; DA=DC và OD là phân giác của góc AOC

ΔOAC cân tại O

mà OD là đường phân giác

nên OD⊥AC

Xét (O) có

ΔACB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔACB vuông tại C

=>AC⊥CB

mà OD⊥AC

nên OD//AC

Xét ΔAOD vuông tại A và ΔCBA vuông tại C có

\(\hat{AOD}=\hat{CBA}\) (hai góc đồng vị, OD//CB)

Do đó: ΔAOD~ΔCBA

=>\(\frac{OD}{BA}=\frac{AO}{CB}\)

=>\(OD\cdot BC=AO\cdot BA=R\cdot2R=2R^2\) là một hằng số

Sửa đề: (d): x-2y+4=0

(d') là ảnh của (d) qua phép tịnh tiến theo \(\overrightarrow{v}=\left(4;5\right)\)

=>(d')//(d)

=>(d'): x-2y+c=0

Lấy A(0;2) thuộc (d)

Tọa độ A'(x;y) là ảnh của A(0;2) qua phép tịnh tiến theo \(\overrightarrow{v}=\left(4;5\right)\) là:

x=0+4=4 và y=2+5=7

Thay x=4 và y=7 vào (d'), ta được:

4-2*7+c=0

=>c+4-14=0

=>c-10=0

=>c=10

=>(d'): x-2y+10=0

a: Xét tứ giác DAOC có \(\hat{DAO}+\hat{DCO}=90^0+90^0=180^0\)

nên DAOC là tứ giác nội tiếp

Ta có: AH⊥DE

OC⊥DE

Do đó: OC//AH

Xét ΔAHE có OC//AH

nên \(\frac{CE}{CH}=\frac{OE}{OA}=\frac{OE}{R}\)

Xét ΔECO vuông tại C và ΔEAD vuông tại A có

\(\hat{CEO}\) chung

Do đó: ΔECO~ΔEAD

=>\(\frac{EO}{ED}=\frac{EC}{EA}=\frac{CO}{AD}\)

=>\(\frac{OE}{OC}=\frac{ED}{AD}\)

=>\(\frac{ED}{AD}=\frac{OE}{R}\)

=>\(\frac{CE}{CH}=\frac{ED}{AD}\)

=>\(CE\cdot AD=CH\cdot ED\)

b: Xét (O) có

DA,DC là các tiếp tuyến

Do đó; DA=DC và OD là phân giác của góc AOC

ΔOAC cân tại O

mà OD là đường phân giác

nên OD⊥AC

Xét (O) có

ΔACB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔACB vuông tại C

=>AC⊥CB

mà OD⊥AC

nên OD//AC

Xét ΔAOD vuông tại A và ΔCBA vuông tại C có

\(\hat{AOD}=\hat{CBA}\) (hai góc đồng vị, OD//CB)

Do đó: ΔAOD~ΔCBA

=>\(\frac{OD}{BA}=\frac{AO}{CB}\)

=>\(OD\cdot BC=AO\cdot BA=R\cdot2R=2R^2\) là một hằng số

Gọi H là trung điểm của AB

ΔSAB cân tại S

mà SH là đường trung tuyến

nên SH⊥AB

(SAB)⊥(ABC)

(SAB) giao (ABC)=AB

SH⊥AB

Do đó; SH⊥(ABC)

ΔSAB vuông cân tại S

=>SA=SB

=>SB=3cm

ΔSAB vuông cân tại S

=>\(AB^2=SA^2+SB^2=3^2+3^2=9+9=18\)

=>\(AB=3\sqrt2\) (cm)

ΔSAB vuông tại S

mà SH là đường trung tuyến

nên \(SH=\frac{AB}{2}=\frac{3\sqrt2}{2}\) (cm)

ΔABC vuông cân tại A

=>AB=AC

=>\(AC=3\sqrt2\left(\operatorname{cm}\right)\)

ΔABC vuông tại A

=>\(S_{ABC}=\frac12\cdot AB\cdot AC=\frac12\cdot3\sqrt2\cdot3\sqrt2=9\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

Thể tích khối chóp là:

\(V=\frac13\cdot SH\cdot S_{ABC}\)

\(=\frac13\cdot\frac{3\sqrt2}{2}\cdot9=\frac{9\sqrt2}{2}\left(\operatorname{cm}^3\right)\)

a: Xét tứ giác BDEC có DE//BC và \(\hat{DBC}=\hat{ECB}\)

nên BDEC là hình thang cân

b: BDEC là hình thang cân

=>BD=EC và DC=BE

Xét ΔDBC và ΔECB có

DB=EC
DC=EB

BC chung

Do đó: ΔDBC=ΔECB

=>\(\hat{DCB}=\hat{EBC}\)

=>\(\hat{OBC}=\hat{OCB}\)

=>OB=OC

=>O nằm trên đường trung trực của BC(1)

AB=AC
=>A nằm trên đường trung trực của BC(2)

Từ (1),(2) suy ra AO là đường trung trực của BC

a: Thay x=3 vào P, ta được:

\(P=\sqrt3-\frac{1}{\sqrt3}=\frac{3-1}{\sqrt3}=\frac{2}{\sqrt3}=\frac{2\sqrt3}{3}\)

b: \(Q=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}+\frac{1-\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}}\)

\(=\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)+1-\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}\)

\(=\frac{x-1+1-\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}=\frac{x-\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}\)

\(=\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}\)

c: \(Q-1=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}-1\)

\(=\frac{\sqrt{x}-1-\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}=\frac{-2}{\sqrt{x}+1}<0\)

=>Q<1

a: Bảng giá trị:

Vẽ đồ thị:

b: Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(x^2=2x+3\)

=>\(x^2-2x-3=0\)

=>(x-3)(x+1)=0

=>x=3 hoặc x=-1

Khi x=3 thì \(y=x^2=3^2=9\)

Khi x=-1 thì \(y=x^2=\left(-1\right)^2=1\)

=>Tọa độ giao điểm là A(3;9); B(-1;1)

Bài 3:

a: Thay x=25/4 vào B, ta được:

\(B=\left(\sqrt{\frac{25}{4}}-2\right):\left(\sqrt{\frac{25}{4}}+9\right)\)

\(=\left(\frac52-2\right):\left(\frac52+9\right)\)

\(=\frac12:\frac{23}{2}=\frac{1}{23}\)

b: \(A=\frac{3\sqrt{x}-6}{x-2\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}}-\frac{1}{2-\sqrt{x}}\)

\(=\frac{3\left(\sqrt{x}-2\right)}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}+\frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{x}-2}\)

\(=\frac{3+\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{x}-2}=1+\frac{1}{\sqrt{x}-2}=\frac{\sqrt{x}-2+1}{\sqrt{x}-2}=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-2}\)

c: Để A có giá trị nguyên nhỏ nhất thì \(1+\frac{1}{\sqrt{x}-2}\) có giá trị nguyên nhỏ nhất

=>\(\frac{1}{\sqrt{x}-2}=-1\)

=>\(\sqrt{x}-2=-1\)

=>\(\sqrt{x}=1\)

=>x=1(nhận)