a: TA có; \(AE=EB=\frac{AB}{2}\)

\(DF=CF=\frac{DC}{2}\)

mà AB=CD

nên AE=EB=DF=CF

Xét tứ giác AECF có

AE//CF

AE=CF

Do đó: AECF là hình bình hành

b: Xét tứ giác BEDF có

BE//DF

BE=DF

Do đó: BEDF là hình bình hành

101⋮a+1

=>a+1∈{1;101}

=>a∈{0;100}(2)

a-1⋮a

=>-1⋮a

=>a=1(1)

Từ (1),(2) suy ra a∈∅

Gọi số tờ tiền loại 10000 đồng; 20000 đồng; 50000 đồng lần lượt là a(tờ), b(tờ), c(tờ)

(Điều kiện: a,b,c∈N*)

Số tiền mỗi loại trên bằng nhau nên 10000a=20000b=50000c

=>a=2b=5c

=>\(\frac{a}{10}=\frac{2b}{10}=\frac{5c}{10}\)

=>\(\frac{a}{10}=\frac{b}{5}=\frac{c}{2}\)

Có tất cả là 187 tờ tiền nên a+b+c=187

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\frac{a}{10}=\frac{b}{5}=\frac{c}{2}=\frac{a+b+c}{10+5+2}=\frac{187}{17}=11\)

=>\(\begin{cases}a=11\cdot10=110\\ b=11\cdot5=55\\ c=11\cdot2=22\end{cases}\) (nhận)

Vậy: số tờ tiền loại 10000 đồng; 20000 đồng; 50000 đồng lần lượt là 110(tờ), 55(tờ), 22(tờ)

n: \(\left(x^2+x\right)\left(x^2+x+1\right)=6\)

=>\(\left(x^2+x\right)^2+\left(x^2+x\right)-6=0\)

=>\(\left(x^2+x+3\right)\left(x^2+x-2\right)=0\)

=>\(x^2+x-2=0\)

=>(x+2)(x-1)=0

=>\(\left[\begin{array}{l}x+2=0\\ x-1=0\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}x=-2\\ x=1\end{array}\right.\)

p: \(\left(x-1\right)^3+\left(2-x\right)\left(4+2x+x^2\right)+3x\left(x+2\right)=17\)

=>\(x^3-3x^2+3x-1+8-x^3+3x^2+6x=17\)

=>9x+7=17

=>9x=10

=>\(x=\frac{10}{9}\)

m: \(2x^3-x^2+3x+6=0\)

=>\(2x^3+2x^2-3x^2-3x+6x+6=0\)

=>\(\left(x+1\right)\left(2x^2-3x+6\right)=0\)

=>x+1=0

=>x=-1

o: \(\left(x^2-4x\right)^2-8\left(x^2-4x\right)+15=0\)

=>\(\left(x^2-4x\right)^2-3\left(x^2-4x\right)-5\left(x^2-4x\right)+15=0\)

=>\(\left(x^2-4x-3\right)\left(x^2-4x-5\right)=0\)

TH1: \(x^2-4x-3=0\)

=>\(x^2-4x+4-7=0\)

=>\(\left(x-2\right)^2=7\)

=>\(\left[\begin{array}{l}x-2=\sqrt7\\ x-2=-\sqrt7\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}x=\sqrt7+2\\ x=-\sqrt7+2\end{array}\right.\)

TH2: \(x^2-4x-5=0\)

=>(x-5)(x+1)=0

=>x=5 hoặc x=-1

b: \(\left(x-2\right)^3-\left(x-3\right)\left(x^2+3x+9\right)+6\left(x+1\right)^2=15\)

=>\(x^3-6x^2+12x-8-\left(x^3-27\right)+6\left(x^2+2x+1\right)=15\)

=>\(x^3-6x^2+12x-8-x^3+27+6x^2+12x+6=15\)

=>24x+25=15

=>24x=-10

=>\(x=-\frac{10}{24}=-\frac{5}{12}\)

Gọi số quyển tập mà lớp 7A, 7B, 7C quyên góp lần lượt là a(quyển), b(quyển), c(quyển)

(Điều kiện: a,b,c∈N*)

Số quyển tập mà các lớp 7A, 7B, 7C quyên góp lần lượt tỉ lệ với 2;3;7

=>\(\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{7}\)

Lớp 7C quyên góp nhiều hơn lớp 7A là 125 quyển nên c-a=125

Áp dụng tính chất của dãy ti số bằng nhau, ta được:

\(\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{7}=\frac{c-a}{7-2}=\frac{125}{5}=25\)

=>\(\begin{cases}a=25\cdot2=50\\ b=25\cdot3=75\\ c=25\cdot7=175\end{cases}\) (nhận)

Vậy: số quyển tập mà lớp 7A, 7B, 7C quyên góp lần lượt là 50(quyển), 75(quyển), 175(quyển)

a: N là trung điểm của AB

=>\(AN=NB=\frac{AB}{2}=1,5a\)

M là trung điểm cua DC

=>\(DM=MC=\frac{DC}{2}=\frac{a}{2}=0,5a\)

Xét tứ giác DMNE có

DM//NE

DE//MN

Do đó: DMNE là hình bình hành

=>DM=EN

=>EN=0,5a

AE+EN=AN

=>AE=1,5a-0,5a=a

=>AE=AD

Xét ΔAED có AE=AD và \(\hat{EAD}=60^0\)

nên ΔAED đều

=>\(\hat{AED}=\hat{ADE}=60^0\)

DE//MN

=>\(\hat{AED}=\hat{MNA}\)

=>\(\hat{MNA}=60^0\)

Xét tứ giác ADMN có

DM//AN

\(\hat{DAN}=\hat{MNA}\left(=60^0\right)\)

Do đó: ADMN là hình thang cân

b: Xét tứ giác AECD có

AE//CD

AE=CD(=a)

Do đó: AECD là hình bình hành

Hình bình hành AECD có AE=AD
nên AECD là hình thoi

Áp dụng tính chất của dãy ti số bằng nhau, ta được:

\(\frac{2x+1}{5}=\frac{3y-2}{7}=\frac{2x+3y-1}{6x}=\frac{2x+1+3y-2-2x-3y+1}{5+7-6x}=0\)

=>2x+1=0 và 3y-2=0

=>2x=-1 và 3y=2

=>\(x=-\frac12;y=\frac23\)

Ta có: \(M=x^2-x+5\)

\(=x^2-x+\frac14+\frac{19}{4}\)

\(=\left(x-\frac12\right)^2+\frac{19}{4}\ge\frac{19}{4}\forall x\)

Dấu '=' xảy ra khi \(x-\frac12=0\)

=>\(x=\frac12\)

a: Xét ΔBAD vuông tại A và ΔBED vuông tại E có

BD chung

\(\hat{ABD}=\hat{EBD}\)

Do đó: ΔBAD=ΔBED

b: ΔBAD=ΔBED

=>BA=BE

c: ΔBAD=ΔBED

=>DA=DE

=>D nằm trên đường trung trực của AE(1)

BA=BE

=>B nằm trên đường trung trực của AE(2)

Từ (1),(2) suy ra BD là đường trung trực của AE

=>BD⊥AE