a: ABCD là hình vuông

=>AB=BC=CD=DA=4cm

EFMC là hình vuông

=>EF=FM=MC=CE=6cm

EB+BC=EC

=>EB=EC-BC=6-4=2(cm)

Diện tích tam giác EBD là:

\(S_{EBD}=\frac12\times DC\times EB=\frac12\times4\times2=4\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

Diện tích hình thang BCMF là:

\(S_{BCMF}=\frac12\times\left(BC+MF\right)\times CM\)

\(=\frac12\times\left(4+6\right)\times6=3\times10=30\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

a; Xét ΔABC có \(\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}\left(=\frac13\right)\)

nên MN//BC

Xét ΔABQ có MP//BQ

nên \(\frac{MP}{BQ}=\frac{AM}{AB}=\frac13\left(1\right)\)

Xét ΔACD có NP//CQ

nên \(\frac{NP}{CQ}=\frac{AN}{AC}=\frac13\) (2)

Từ (1),(2) suy ra \(\frac{MP}{BQ}=\frac{NP}{QC}\)

=>\(\frac{MP}{NP}=\frac{BQ}{QC}\)

=>\(\frac{BQ}{QC}=\frac12\)

b: Xét ΔABQ có MP//BQ

nên \(\frac{AP}{AQ}=\frac{AM}{AB}=\frac13\)

a: \(\frac12x^3y^2\cdot\left(4x^5y^2\right)^0\cdot\left(-\frac23xy^2\right)\)

\(=\left(-\frac12\cdot\frac23\right)\cdot x^3\cdot x\cdot y^2\cdot y^2=-\frac13x^4y^4\)

b: \(2x^2y^2+\frac12\cdot xy-4x^2y^2-xy+\frac15-3xy\)

\(=\left(2x^2y^2-4x^2y^2\right)+\left(\frac12xy-xy-3xy\right)+\frac15\)

\(=-2x^2y^2-\frac72xy+\frac15\)

Đặt A là vị trí ngôi nhà, B là vị trí vườn dứa, C là vị trí ao cá

Theo đề, ta có: AB-AC=2 và AC-BC=23

=>AB=AC+2 và BC=AC-23

ΔCAB vuông tại C

=>\(CA^2+CB^2=AB^2\)

=>\(CA^2+\left(CA-23\right)^2=\left(CA+2\right)^2\)

=>\(2CA^2-46\cdot CA+529-CA^2-4\cdot CA-4=0\)

=>\(CA^2-50\cdot CA+525=0\)

=>(CA-35)(CA-15)=0

=>CA=35 hoặc CA=15

Nếu CA=15 thì BC=15-23=-8<0

=>Loại

Nếu CA=35 thì BC=35-23=12(nhận), AB=35+2=37(nhận)

Vậy: Khoảng cách từ Nhà đến Ao cá là 35m

Khoảng cách từ Ao cá đến Vườn dừa là 12m

Khoảng cách từ Nhà đến Vườn dừa là 37m

Câu 4:

a: Xét ΔAEB vuông tại E và ΔAFC vuông tại F có

\(\hat{EAB}\) chung

Do đó: ΔAEB~ΔAFC

=>\(\frac{AE}{AF}=\frac{AB}{AC}\)

=>\(\frac{AE}{AB}=\frac{AF}{AC}\)

Xét ΔAEF và ΔABC có

\(\frac{AE}{AB}=\frac{AF}{AC}\)

góc EAF chung

Do đó; ΔAEF~ΔABC

b; Xét ΔBDH vuông tại D và ΔBEC vuông tại E có

\(\hat{DBH}\) chung

Do đó: ΔBDH~ΔBEC

=>\(\frac{BD}{BE}=\frac{BH}{BC}\)

=>\(BD\cdot BC=BH\cdot BE\)

Xét ΔCDH vuông tại D và ΔCFB vuông tại F có

\(\hat{DCH}\) chung

Do đó: ΔCDH~ΔCFB

=>\(\frac{CD}{CF}=\frac{CH}{CB}\)

=>\(CH\cdot CF=CD\cdot CB\)

\(BH\cdot BE+CF\cdot CH\)

\(=BD\cdot BC+CD\cdot BC=BC^2\)

c: Xét ΔDBH vuông tại D và ΔDAC vuông tại D có

\(\hat{DBH}=\hat{DAC}\left(=90^0-\hat{ACB}\right)\)

Do đó: ΔDBH~ΔDAC

=>\(\frac{DB}{DA}=\frac{DH}{DC}\)

=>\(DH\cdot DA=DB\cdot DC\le\frac14\cdot\left(DB+DC\right)^2=\frac{BC^2}{4}\)

(d): x-y-1=0

=>y=x-1

M thuộc (d)

=>M(x;x-1)

Tọa độ N là ảnh của M(x;x-1) qua phép tịnh tiến theo \(\overrightarrow{a}=\left(2;2\right)\) là:

x=x+2 và y=x-1+2=x+1

(C): \(x^2+y^2-2x-4y+1=0\)

=>\(x^2-2x+1+y^2-4y+4=4\)

=>\(\left(x-1\right)^2+\left(y-2\right)^2=4\)

Vì N∈(C) nên ta có: \(\left(x+2-1\right)^2+\left(x+1-2\right)^2=4\)

=>\(\left(x+1\right)^2+\left(x-1\right)^2=4\)

=>\(2x^2+2=4\)

=>\(2x^2=2\)

=>\(x^2=1\)

=>x=1 hoặc x=-1

Khi x=1 thì y=x-1=1-1=0

=>M(1;0)

Tọa độ N là:

x=1+2=3 và y=0+2=2

=>N(3;2)

Khi x=-1 thì y=x-1=-1-1=-2

=>M(-1;-2)

Tọa độ N là:

x=-1+2=1 và y=-2+2=0

=>N(1;0)

Xét ΔLAM có

AK,MK là các đường phân giác

AK cắt MK tại K

Do đó: K là tâm đường tròn nội tiếp ΔLAM

=>LK là phân giác của góc ALM

=>\(\hat{ALK}=\frac12\cdot\hat{ALM}=\frac12\cdot100^0=50^0\)

a: Chiều cao là \(16\times75\%=12\left(\operatorname{cm}\right)\)

Diện tích tam giác ABC là: \(S_{ABC}=\frac12\times12\times16=6\times16=96\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

b: Ta có: M là trung điểm của BC

=>\(BM=CM=\frac{BC}{2}\)

=>\(S_{AMB}=S_{AMC}=\frac12\times S_{ABC}=\frac12\times96=48\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

Ta có: AE=2EM

=>\(S_{ABE}=2\times S_{BEM}\)

=>\(\frac{S_{ABE}}{S_{BEM}}=2=200\%\)

c: Ta có; AE+EM=AM

=>AM=2EM+EM=3EM

=>\(AE=\frac23AM\)

=>\(S_{ABE}=\frac23\times S_{ABM}=\frac23\times48=32\left(\operatorname{cm}^2\right);S_{ACE}=\frac23\times S_{AMC}=\frac23\times48=32\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

Ta có: \(S_{ABE}+S_{ACE}+S_{BEC}=S_{ABC}\)

=>\(S_{BEC}=96-32-32=32\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

=>\(S_{BEA}=S_{BEC}\)

N nằm giữa A và C

=>\(\frac{S_{BNA}}{S_{BNC}}=\frac{NA}{NC};\frac{S_{ENA}}{S_{ENC}}=\frac{NA}{NC}\)

=>\(\frac{S_{BNA}-S_{ENA}}{S_{BNC}-S_{ENC}}=\frac{NA}{NC}\)

=>\(\frac{NA}{NC}=\frac{S_{BEA}}{S_{BEC}}=1\)

=>NA=NC

\(A=1-2x+x^2=\left(1-x\right)^2\)

=>A>=0∀x

Gọi số cần tìm là a

Theo đề, ta có: \(\frac{24}{a}=\frac{15}{20}\)

=>\(a=24\times\frac{20}{15}=24\times\frac43=32\)

Vậy: Số cần tìm là 32