Bài 3:
\(A=\frac{\tan\alpha+3\cdot\cot\alpha}{\tan\alpha+\cot\alpha}\)
\(=\frac{\tan\alpha+\frac{3}{\tan\alpha}}{tan\alpha+\frac{1}{\tan\alpha}}=\frac{\tan^2\alpha+3}{\tan\alpha}:\frac{\tan^2\alpha+1}{\tan\alpha}=\frac{\tan^2\alpha+3}{\tan^2\alpha+1}\)
Ta có: \(cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1\)
=>\(\sin^2\alpha=1-\left(\frac34\right)^2=1-\frac{9}{16}=\frac{7}{16}\)
=>\(\sin\alpha=\frac{\sqrt7}{4}\)
\(\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{cos\alpha}=\frac{\sqrt7}{4}:\frac34=\frac{\sqrt7}{3}\)
=>\(\tan^2\alpha=\left(\frac{\sqrt7}{3}\right)^2=\frac79\)
=>\(A=\left(\frac79+3\right):\left(\frac79+1\right)=\frac{34}{9}:\frac{16}{9}=\frac{34}{16}=\frac{17}{8}\)
Bài 1:
a: ΔABC vuông tại A
=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)
=>\(AC^2=13^2-5^2=169-25=144=12^2\)
=>AC=12(cm)
Xét ΔABC vuông tại A có
\(\sin ACB=\frac{AB}{BC}=\frac{5}{13}\)
\(cosACB=\frac{CA}{CB}=\frac{12}{13}\)
tan ACB=\(\frac{AB}{AC}=\frac{5}{12}\)
cot ACB=\(\frac{AC}{AB}=\frac{12}{5}\)
b: Xét ΔBAC có BE là phân giác
nên \(\frac{EA}{EC}=\frac{BA}{BC}=\frac{5}{13}\)
=>\(\frac{EA}{5}=\frac{EC}{13}\)
mà EA+EC=AC=12
nên Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:
\(\frac{EA}{5}=\frac{EC}{13}=\frac{EA+EC}{5+13}=\frac{12}{18}=\frac23\)
=>\(\begin{cases}EA=5\cdot\frac23=\frac{10}{3}\\ EC=\frac23\cdot13=\frac{26}{3}\end{cases}\)
Xét ΔCAB có CF là phân giác
nên \(\frac{FA}{FB}=\frac{CA}{CB}=\frac{12}{13}\)
=>\(\frac{FA}{12}=\frac{FB}{13}\)
mà FA+FB=AB=5
nên Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:
\(\frac{FA}{12}=\frac{FB}{13}=\frac{FA+FB}{12+13}=\frac{5}{25}=0,2\)
=>\(\begin{cases}FA=12\cdot0,2=2,4\\ FB=13\cdot0,2=2,6\end{cases}\)
Bài 2:
a: Xét ΔAHC vuông tại H có tan HAC=\(\frac{HC}{HA}\)
=>\(HC=8\cdot\tan30=\frac{8}{\sqrt3}\) (cm)
Xét ΔAHC vuông tại H có cosHAC=\(\frac{HA}{AC}\)
=>\(AC=HA:cos30=8:cos30=8\cdot\frac{2}{\sqrt3}=\frac{16}{\sqrt3}\) (cm)
ΔAHC vuông tại H
=>\(S_{AHC}=\frac12\cdot HA\cdot HC=\frac12\cdot8\cdot\frac{8}{\sqrt3}=\frac{32}{\sqrt3}\left(\operatorname{cm}^2\right)\)
b: Xét ΔAHB có \(\frac{AI}{AH}=\frac{AM}{AB}\left(=\frac12\right)\)
nên IM//HB
=>IM//BC
Xét ΔABC có \(\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}\left(=\frac12\right)\)
nên MN//BC
mà IM//BC
và IM,NM có điểm chung là M
nên I,M,N thẳng hàng
c: Xét ΔCAB có
E,M lần lượt là trung điểm của BC,BA
=>EM là đường trung bình của ΔCAB
=>\(EM=\frac{AC}{2}\) (1)
ΔHAC vuông tại H
mà HN là đường trung tuyến
nên \(HN=\frac{AC}{2}\left(2\right)\)
Từ (1),(2) suy ra EM=HN
Xét tứ giác MNEH có
MN//EH
ME=NH
Do đó: MNEH là hình thang cân
