a: Xét ΔANE vuông tại N và ΔANF vuông tại N có

AN chung

\(\hat{NAE}=\hat{NAF}\)

Do đó: ΔANE=ΔANF

b: ΔANE=ΔANF

=>AE=AF

Xét ΔAEF có AE=AF và \(\hat{FAE}=60^0\)

nên ΔAEF đều

a: Xét ΔABC có

AE,BF là các đường cao

AE cắt BF tại H

Do đó: H là trực tâm của ΔABC

=>CH⊥AB

b: Xét (O) có

ΔABK nội tiếp

AK là đường kính

Do đó: ΔABK vuông tại B

=>BA⊥BK

mà CH⊥BA

nên BK//CH

Xét (O) có

ΔACK nội tiếp

AK là đường kính

Do đó: ΔACK vuông tại C

=>CA⊥CK

mà BH⊥CA

nên BH//CK

Xét tứ giác BHCK có

BH//CK

BK//CH

Do đó: BHCK là hình bình hành

a: I là điểm chính giữa của cung BC

=>sđ cung IB=sđ cung IC

Xét (O) có \(\hat{ADB}\) là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn chắn hai cung AB và IC

=>\(\hat{ADB}=\frac12\) (sđ cung AB+sđ cung IC)

=1/2(sđ cung AB+sđ cung IB)

=1/2*sđ cung AI

Xét (O) có \(\hat{MAI}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến AM và dây cung AI

=>\(\hat{MAI}=\frac12\) *sđ cung AI

=>\(\hat{MAD}=\hat{MDA}\)

=>ΔMAD cân tại M

Bài 4:

a: \(\frac{-5}{9}+\frac35-\frac39+\frac{-2}{5}\)

\(=\left(\frac35-\frac25\right)-\left(\frac59+\frac39\right)\)

\(=\frac15-\frac89=\frac{9-40}{45}=\frac{-31}{45}\)

b: \(\frac{5}{17}-\frac{9}{15}-\frac{2}{17}+\frac{-2}{5}\)

\(=\left(\frac{5}{17}-\frac{2}{17}\right)-\left(\frac35+\frac25\right)\)

\(=\frac{3}{17}-1=-\frac{14}{17}\)

c: \(\frac{-5}{13}-\left(\frac35+\frac{3}{13}-\frac{4}{10}\right)\)

\(=\frac{-5}{13}-\frac35-\frac{3}{13}+\frac{4}{10}=\frac{-8}{13}-\frac{6}{10}+\frac{4}{10}\)

\(=-\frac{8}{13}-\frac15=\frac{-40-13}{65}=\frac{-53}{65}\)

d: \(\left(\frac19-\frac{9}{17}\right)+\frac36-\left(\frac{12}{17}-\frac12\right)+\frac59\)

\(=\frac19+\frac59-\frac{9}{17}+\frac12-\frac{12}{17}+\frac12\)

\(=\frac69+1-\frac{21}{17}=\frac23-\frac{4}{17}=\frac{34-12}{51}=\frac{22}{51}\)

Bài 5:

a: \(\frac{-31}{23}-\left(\frac{7}{32}-\frac{8}{23}\right)\)

\(=-\frac{31}{23}-\frac{7}{32}+\frac{8}{23}=-1-\frac{7}{32}=\frac{-39}{32}\)

b: \(\frac{38}{45}-\left(\frac{8}{45}-\frac{17}{51}-\frac{3}{11}\right)\)

\(=\frac{38}{45}-\frac{8}{45}+\frac13+\frac{3}{11}\)

\(=\frac{30}{45}+\frac13+\frac{3}{11}=\frac{3}{11}+1=\frac{14}{11}\)

c: \(\left(\frac13+\frac{12}{67}+\frac{13}{41}\right)-\left(\frac{79}{67}-\frac{28}{41}\right)\)

\(=\frac13+\frac{12}{67}+\frac{13}{41}-\frac{79}{67}+\frac{28}{41}=\frac13+\left(\frac{12}{67}-\frac{79}{67}\right)+\left(\frac{13}{41}+\frac{28}{41}\right)\)

\(=\frac13-1+1=\frac13\)

d: \(\frac{7}{12}-\left(\frac16+\frac{5}{12}\right)\)

\(=\frac{7}{12}-\frac16-\frac{5}{12}=\frac16-\frac16\)

=0

Sửa đề: \(\left(1-\frac{1}{1+2}\right)\left(1-\frac{1}{1+2+3}\right)\cdot\ldots\cdot\left(1-\frac{1}{1+2+3+\cdots+997}\right)\)

Ta có công thức: \(1-\frac{1}{1+2+\cdots+n}\)

\(=1-\frac{1}{\frac{n\left(n+1\right)}{2}}=1-\frac{2}{n\left(n+1\right)}\)

\(=\frac{n\left(n+1\right)-2}{n\left(n+1\right)}=\frac{n^2+n-2}{n\left(n+1\right)}=\frac{\left(n+2\right)\left(n-1\right)}{n\left(n+1\right)}\)

\(\left(1-\frac{1}{1+2}\right)\left(1-\frac{1}{1+2+3}\right)\cdot\ldots\cdot\left(1-\frac{1}{1+2+3+\cdots+997}\right)\)

\(=\frac{\left(2+2\right)\left(2-1\right)}{2\left(2+1\right)}\cdot\frac{\left(3+2\right)\left(3-1\right)}{3\left(3+1\right)}\cdot\ldots\cdot\frac{\left(997+2\right)\left(997-1\right)}{997\left(997+1\right)}\)

\(=\frac{4\cdot5\cdot\ldots\cdot999}{3\cdot4\cdot\ldots\cdot998}\cdot\frac{1\cdot2\cdot\ldots\cdot996}{2\cdot3\cdot\ldots\cdot997}=\frac{1}{997}\cdot\frac{999}{3}=\frac{333}{997}\)

Ta có: \(\frac{1}{2^2}>\frac{1}{2\cdot3}=\frac12-\frac13\)

\(\frac{1}{3^2}>\frac{1}{3\cdot4}=\frac13-\frac14\)

...

\(\frac{1}{100^2}>\frac{1}{99\cdot100}=\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\)

Do đó: \(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots+\frac{1}{100^2}>\frac12-\frac13+\frac13-\frac14+\cdots+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\)

=>\(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots+\frac{1}{100^2}>\frac12-\frac{1}{100}\)

=>\(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots+\frac{1}{100^2}>\frac12\)

=>\(5\left(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots+\frac{1}{100^2}\right)>\frac52\)

=>S>2,5

=>S>2(1)

Ta có: \(\frac{1}{2^2}<\frac{1}{1\cdot2}=1-\frac12\)

\(\frac{1}{3^2}<\frac{1}{2\cdot3}=\frac12-\frac13\)

...

\(\frac{1}{100^2}<\frac{1}{99\cdot100}=\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\)

Do đó: \(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots+\frac{1}{100^2}<1-\frac12+\frac12-\frac13+\cdots+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\)

=>\(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots+\frac{1}{100^2}<1-\frac{1}{100}\)

=>\(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots+\frac{1}{100^2}<1\)

=>\(5\left(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots+\frac{1}{100^2}\right)<5\)

=>S<5(2)

Từ (1),(2) suy ra 2<S<5

Ta có: \(\hat{xOm}=\frac23\cdot\hat{yOm}\)

=>\(\hat{yOm}=\frac32\cdot\hat{xOm}\)

Ta có: \(\hat{xOm}+\hat{yOm}=\hat{xOy}\) (tia Om nằm giữa hai tia Ox và Oy)

=>\(\frac32\cdot\hat{xOm}+\hat{xOm}=50^0\)

=>\(\frac52\cdot\hat{xOm}=50^0\)

=>\(\hat{xOm}=20^0\)

Bài 15:

ΔABC cân tại A

=>\(\hat{ABC}=\hat{ACB}=\frac{180^0-20^0}{2}=80^0\)

Xét ΔABC có \(\frac{BC}{\sin A}=\frac{AC}{\sin B}=\frac{AB}{\sin C}\)

=>\(\frac{a}{\sin20}=\frac{b}{\sin80}=\frac{c}{\sin80}=\frac{b}{cos10}=\frac{c}{cos10}\)

=>\(\frac{a}{\sin20}=\frac{b}{cos10}\)

=>\(\frac{a}{b}=\frac{\sin20}{cos10}=\frac{2\cdot\sin10\cdot cos10}{cos10}=2\cdot\sin10\)

=>\(\frac{a}{2b}=\sin10^0\)

\(\sin30=\sin\left(3\cdot10^0\right)=3\cdot\sin10^0-4\cdot\sin^310^0\)

=>\(3\cdot\sin10^0-4\cdot\sin^310^0=\frac12\)

=>\(3\cdot\frac{a}{2b}-4\cdot\left(\frac{a}{2b}\right)^3=\frac12\)

=>\(\frac{3a}{2b}-4\cdot\frac{a^3}{8b^3}=\frac12\)

=>\(\frac{3a}{2b}-\frac{a^3}{2b^3}=\frac12\)

=>\(\frac{3ab^2-a^3}{2b^3}=\frac{b^3}{2b^3}\)

=>\(3ab^2-a^3=b^3\)

=>\(a^3+b^3=3ab^2\)

a: I là trung điểm của AB

=>\(IA=IB=\frac{AB}{2}=3\left(\operatorname{cm}\right)\)

I là trung điểm của CD

=>\(IC=ID=\frac{CD}{2}=4\left(\operatorname{cm}\right)\)

Kẻ AH⊥CD; BK⊥CD

=>HK là hình chiếu của AB trên CD

Xét ΔIHA vuông tại H có cos AIH=\(\frac{IH}{IA}\)

=>\(\frac{IH}{3}=cos60=\frac12\)

=>IH=1,5(cm)

Xét ΔIHA vuông tại H và ΔIKB vuông tại K có

IA=IB

\(\hat{AIH}=\hat{BIK}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔIHA=ΔIKB

=>IH=IK

=>I là trung điểm của HK

=>HK=2*IH=3(cm)

b: Kẻ CM⊥AB tại M và DN⊥AB tại N

=>MN là hình chiếu của CD trên AB

Xét ΔIMC vuông tại M có cos CIM=\(\frac{IM}{IC}\)

=>\(\frac{IM}{4}=cos60=\frac12\)

=>IM=2(cm)

Xét ΔIMC vuông tại M và ΔIND vuông tại N có

IC=ID

\(\hat{MIC}=\hat{NID}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔIMC=ΔIND

=>IM=IN

=>I là trung điểm của MN

=>MN=2*MI=4(cm)

a: Ta có: \(\hat{ABD}=\hat{CBD}=\frac12\cdot\hat{ABC}\) (BD là phân giác của góc ABC)

\(\hat{ACE}=\hat{BCE}=\frac12\cdot\hat{ACB}\) (CE là phân giác của góc ACB)

mà \(\hat{ABC}=\hat{ACB}\) (ΔABC cân tại A)

nên \(\hat{ABD}=\hat{CBD}=\hat{ACE}=\hat{BCE}\)

Xét ΔABD và ΔACE có

\(\hat{ABD}=\hat{ACE}\)

AB=AC

\(\hat{BAD}\) chung

Do đó: ΔABD=ΔACE
=>BD=CE và AD=AE

Xét ΔABC có \(\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}\)

nên DE//BC

b: Xét ΔABC có

BD,CE là các đường phân giác

BD cắt CE tại I

Do đó: I là tâm đường tròn nội tiếp ΔABC

=>AI là phân giác của góc BAC

c: Xét ΔBHC vuông tại H và ΔCKB vuông tại K có

BC chung

\(\hat{HCB}=\hat{KBC}\)

Do đó: ΔBHC=ΔCKB

=>BH=CK